Szeregi

[Kiki01]

Bardzo proszę o sprawdzenie czy dobrze zrobiłam zadanie.
Wyznaczyć zbiór tych \(x∈ \rr\) dla których szereg jest zbieżny (ustalić zbieżność). Podać środek promień przedziału zbieżności.
\( \sum_{n=}^{∞} \frac{(-1)^n * x^n}{n!*3^n} \)
Moje obliczenia:
Szereg o wyrazach naprzemiennych, więc badam bezwzględną zbieżność szeregu. \(\sum_{n=1}^{∞} |an|\)
\( \sum_{n=1}^{∞} \frac{x^n}{n!*3^n} \)
\( \Lim_{n\to ∞} \sqrt[n]{|\frac {x^n}{n!*3^n}|} \) = \( \Lim_{n\to ∞} {|\frac {x}{ \sqrt[n]{ n!}*3}|} \)
\( [\sqrt[n]{ n!}] \to 1\)
\( \frac{x}{3} < 1\)
\(-1 < \frac{x}{3} < 1\)
\(-3<x<3\)
Na mocy kryterium Couchiego badany szereg jest bezwzględnie zbieżny
\(x∈ (-3; 3)\)
środek przedziału \(x = 0\)
promień przedziału \(r = 3\)

[grdv10]

Rozwiązanie jest niepoprawne.

Gołym okiem widać, że \(\dfrac{|x|^n}{n!\cdot 3^n}<\dfrac{|x|^n}{n!}\), więc szereg jest bezwzględnie zbieżny dla każdego \(x\) (skojarz z \(e^x\)). Ponadto \(\sqrt[n]{n!}\to \infty\), więc ułamek zmierza do zera, a zatem promień zbieżności jest nieskończony, zo potwierdza tylko to co napisałem wcześniej. Łatwiej jest zastosować granicę ilorazu wyrazu następnego przez poprzedni.

Mam wrażenie, że mylisz kryteria Cauchy'ego i d'Alemberta z twierdzeniem Cauchy'ego-Hadamarda, które tu właśnie ma zastosowanie.

[panb]

Pierwiastek (kryterium Cauchy'ego) stosuje się, gdy występują potęgi (najchętniej o wykładniku n).
Jak nie ma potęg, to kryterium d'Alemberta jest lepsze.
Zebrane info na ten temat znajdziesz tutaj

[Kiki01]

Już chyba rozumiem.
Poprawiłam zadanie.
Srodek x0 = 0
Z kryterium Cauchiego-Hadamarda
\(λ = \Lim_{x\to ∞}| \frac{an+1}{an}| = \Lim_{x\to ∞} \frac{1^n*1}{n!*(n+1) *3^n *3} * \frac{n!*3^n}{1^n} \)
\(λ = \Lim_{x\to ∞} \frac{1}{3n+3} = 0\)
promień R = ∞
Badany szereg jest bezwzględnie zbieżny dla x ∈ R
Jest dobrze?

[grdv10]

Tak, w porządku.