dowód

[Pawm32]

a jak mam tak:
podnoszę do sześcianu i na koniec mam \(x^3-3x+30 \sqrt{3} =0\)
Tak więc dana liczba jest pierwiastkiem \(W(x)=x^3-3x+30 \sqrt{3} \)
Współczynniki tego wielomianu nie sa całkowite. Więc wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych, wiec dana liczba jako pierwiastek tego wielomianu nie jest całkowita, tak wiec nie może być naturalna

Tak to działa, czy coś tu jest źle?

[Młodociany całkowicz]

Robisz dowód niewprost. Przypuśćmy, że jest rozwiązanie całkowite. Przenosz ten pierwiastek na prawą stronę. Lewa jest całkowita, prawa nie. Sprzeczność.

[Pawm32]

Robisz dowód niewprost. Przypuśćmy, że jest rozwiązanie całkowite. Przenosz ten pierwiastek na prawą stronę. Lewa jest całkowita, prawa nie. Sprzeczność.

tak, ale w książce jest inaczej a ja według tego mam robić i w tym przykładzie nie wychodzi a powinno i muszę zmienić komentarz, więc czy ten mój komentarz wyżej jest błędny czy ujdzie?

[Jerry]

Współczynniki tego wielomianu nie sa całkowite. Więc wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych,

Jest to niepoprawne wnioskowanie
Kontrargument:
dla \(w(x)=x^2+\sqrt2x-1-\sqrt2\) mamy \(w(1)=0\)

Pozdrawiam

[Pawm32]

wykaż, że dana liczba jest naturalna \(\sqrt[3]{26+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{(\sqrt[3]{26+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}})^3} = \sqrt[3]{30\sqrt{3} +\sqrt[3]{26\sqrt{3}+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}}}\)

\(a+30\sqrt{3} = a^3\)

\(a^3-a= 30\sqrt{3}\)

Przypuśćmy, że \(a\) jest naturalne. Wówczas \(a^3-a\) jest całkowite.

Otrzymujemy więc sprzeczność, bo lewa strona jest całkowita, a prawa nie.

na pewno tak wychodzi z potęgowania?
bo mi 2 razy wyszło chyba \( 30 \sqrt{3} =x^3+3x\)

[eresh]

wykaż, że dana liczba jest naturalna \(\sqrt[3]{26+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{(\sqrt[3]{26+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}})^3} = \sqrt[3]{30\sqrt{3} +\sqrt[3]{26\sqrt{3}+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}}}\)

\(a+30\sqrt{3} = a^3\)

\(a^3-a= 30\sqrt{3}\)

Przypuśćmy, że \(a\) jest naturalne. Wówczas \(a^3-a\) jest całkowite.

Otrzymujemy więc sprzeczność, bo lewa strona jest całkowita, a prawa nie.

na pewno tak wychodzi z potęgowania?
bo mi 2 razy wyszło chyba \( 30 \sqrt{3} =x^3+3x\)

dobrze Ci wychodzi

[Młodociany całkowicz]

wykaż, że dana liczba jest naturalna \(\sqrt[3]{26+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{(\sqrt[3]{26+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}})^3} = \sqrt[3]{30\sqrt{3} +\sqrt[3]{26\sqrt{3}+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}}}\)

\(a+30\sqrt{3} = a^3\)

\(a^3-a= 30\sqrt{3}\)

Przypuśćmy, że \(a\) jest naturalne. Wówczas \(a^3-a\) jest całkowite.

Otrzymujemy więc sprzeczność, bo lewa strona jest całkowita, a prawa nie.

na pewno tak wychodzi z potęgowania?
bo mi 2 razy wyszło chyba \( 30 \sqrt{3} =x^3+3x\)

dobrze Ci wychodzi

Skorzystałem ze wzoru skróconego mnożenia.

\((26 - 15\sqrt{3})(26+15\sqrt{3}) = 26^2-15^2\cdot3 = 1\)

[eresh]

Skorzystałem ze wzoru skróconego mnożenia.

\((26 - 15\sqrt{3})(26+15\sqrt{3}) = 26^2-15^2\cdot3 = 1\)

ale nadal

\( \sqrt[3]{(\sqrt[3]{26+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}})^3} = \sqrt[3]{30\sqrt{3} +\sqrt[3]{26\sqrt{3}+15 \sqrt{3} } - \sqrt[3]{26-15 \sqrt{3}}}
\)

nie jest prawdą

[Młodociany całkowicz]

Dobrze. Chyba widzę błąd. Przepraszam raz jeszcze.