Witam, mógłby mi ktoś wytłumaczyć po kolei jak rozwiązuje się nierówność z wartością bezwzględną? Chodzi mi dokładnie o ten przykład:
\(|x|-|x-4|-3 \ge {0}\)
z góry dziękuję za odpowiedź.
Nierówność z wartością bezwzględną
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Najpierw rozpisać musisz wartości bezwzględne:
\(|x|= \begin{cases}-x;\ dla\ x<0\\x;\ dla\ x \ge 0 \end{cases}\)
\(|x-4|= \begin{cases}-x+4;\ dla\ x<4\\x-4;\ dla\ x \ge 4 \end{cases}\)
Masz tu dwa punkty podziału całej dziedziny: x=0 i x=4. Dzielą one zbiór liczb rzeczywistych na 3 przedziały, w których rozwiązuje sie 3 różne nierówności:
1)
\(x \in (- \infty ;\ 0)\\-x-(-x+4)-3 \ge 0\\-x+x-4-3 \ge 0\\-7 \ge 0\)
W tym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.
2)
\(x \in <0;\ 4)\\x-(-x+4)-3 \ge 0\\x+x-4-3 \ge 0\\2x \ge 7\\x \ge 3\frac{1}{2}\\x \in <3\frac{1}{2};\ 4)\)
3)
\(x \in <4;\ \infty )\\x-(x-4)-3 \ge 0\\x-x+4-3 \ge 0\\1 \ge 0\)
tutaj cała dziedzina spełnia nierówność, czyli \(x \in <4;\ \infty )\)
Teraz sumujesz wszystkie zbiory rozwiązań:
\(x \in <3\frac{1}{2};\ 4)\ \cup <4;\ \infty )\\x \in <3\frac{1}{2};\ \infty )\)
\(|x|= \begin{cases}-x;\ dla\ x<0\\x;\ dla\ x \ge 0 \end{cases}\)
\(|x-4|= \begin{cases}-x+4;\ dla\ x<4\\x-4;\ dla\ x \ge 4 \end{cases}\)
Masz tu dwa punkty podziału całej dziedziny: x=0 i x=4. Dzielą one zbiór liczb rzeczywistych na 3 przedziały, w których rozwiązuje sie 3 różne nierówności:
1)
\(x \in (- \infty ;\ 0)\\-x-(-x+4)-3 \ge 0\\-x+x-4-3 \ge 0\\-7 \ge 0\)
W tym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.
2)
\(x \in <0;\ 4)\\x-(-x+4)-3 \ge 0\\x+x-4-3 \ge 0\\2x \ge 7\\x \ge 3\frac{1}{2}\\x \in <3\frac{1}{2};\ 4)\)
3)
\(x \in <4;\ \infty )\\x-(x-4)-3 \ge 0\\x-x+4-3 \ge 0\\1 \ge 0\)
tutaj cała dziedzina spełnia nierówność, czyli \(x \in <4;\ \infty )\)
Teraz sumujesz wszystkie zbiory rozwiązań:
\(x \in <3\frac{1}{2};\ 4)\ \cup <4;\ \infty )\\x \in <3\frac{1}{2};\ \infty )\)