Znajdź miejsce geometryczne środków równoległych cięciw elipsy

[MartaaKo]

Znajdź miejsce geometryczne środków równoległych cięciw elipsy \(x^2+4y^2=16\)
Równoległe cięciwy są nachylone pod kątem \(30^\circ\)

[panb]

Znajdź miejsce geometryczne środków równoległych cięciw elipsy \(x^2+4y^2=16\)
Równoległe cięciwy są nachylone pod kątem \(30^\circ\)

Będzie to odcinek łączący punkty styczności prostych równoległych do prostej nachylonej do osi iksów pod kątem \(30^\circ\)
Rysunek przedstawia ten odcinek (czerwony) i jedną z cięciw (QR) oraz jej środek J.

Żeby znaleźć równanie tego odcinka potrzebujemy znać współrzędne punktów Q i R - punktów styczności prostych równoległych do prostej nachylonej do osi iksów pod kątem \(30^\circ\). Jej współczynnik kierunkowy \(a=\tg30^\circ= \frac{1}{\sqrt3} \)
Styczna do tej elipsy w punkcie \((x_0,y_0)\) ma równanie \(x_0x+4y_0y=16 \iff y=- \frac{x_0}{4y_0}x+ \frac{16}{4y_0} \)
Skoro ma być równoległa do tej nachylonej pod kątem \(30^\circ\), to
\(- \frac{x_0}{4y_0}=\frac{1}{\sqrt3} \So y_0=- \frac{\sqrt3}{4}x_0 \), ale punkt (x_0,y_0) leży na elipsie, więc
\(x_0^2+4y_0^2=16 \iff x_0^2+4\cdot \left(- \frac{\sqrt3}{4}x_0 \right)^2=16 \So x_0^2= \frac{16\cdot4}{7}\So x_0=\pm \frac{8}{\sqrt7} \text{ wtedy } y_0=- \frac{\sqrt3}{4}\cdot \left( \pm \frac{8}{\sqrt7}\right)=\mp \frac{2\sqrt3}{\sqrt7} \)

Punkty z rysunku mają współrzędne:
\[Q= \left(\frac{8}{\sqrt7},-\frac{2\sqrt3}{\sqrt7} \right),\,\,\, R= \left(-\frac{8}{\sqrt7},\frac{2\sqrt3}{\sqrt7} \right) \]

Równanie odcinka QR (czyli "kawałka" prostej przechodzącej przez Q i R dla \(-\frac{8}{\sqrt7} \le x \le \frac{8}{\sqrt7}\)) chyba już dasz radę napisać.

[janusz55]

Miejscem geometrycznym punktów nazywamy zbiór wszystkich punktów posiadających określoną własność geometryczną.

W tym zadaniu wspólną własnością geometryczną punktów jest środek każdej z cięciw równoległych elipsy.

Posłużymy się metodą rugowania parametru.

W tym celu piszemy równanie rodziny prostych równoległych nachylonych pod kątem \( \alpha = 30^{o}.\)

\( y = \tg(30^{o})\cdot x + b, \ \ b\in \rr. \)

\( y = \frac{1}{3}\sqrt{3} x + b. \)

Rozwiązujemy układ równań:

\( \begin{cases} y = \frac{1}{3}\sqrt{3} x + b \\ x^2 + 4y^2 = 16 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{1}{3}\sqrt{3}x + b \\ x^2 +4\left( \frac{1}{3}\sqrt{3}x + b\right)^2 = 16 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{1}{3}\sqrt{3}x + b \\ x^2 + \frac{4}{3}x^2 +\frac{8}{3}\sqrt{3}b x + 4b^2 = 16 |\cdot 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{1}{3}\sqrt{3}x + b \\ \frac{7}{3} x^2 +\frac{8}{3}\sqrt{3}b x + 4b^2 = 16 |\cdot 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{1}{3}\sqrt{3}x + b \\ 7 x^2 + 8\sqrt{3}b x + 12b^2 = 48 \end{cases} \)

Ze wzorów Viete'a: \( x_{1} + x_{2} = -\frac{8\sqrt{3} b}{14} = - \frac{4}{7}\sqrt{3} b \)

Stąd współrzędne \( x_{0} \) środka cięciwy wynoszą

\( x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = - \frac{4}{14}\sqrt{3} b = -\frac{2}{7}\sqrt{3} b \)

Z układu równań:

\( \begin{cases} y_{0} = \frac{1}{3}\sqrt{3} x_{0} + b \\ x_{0} = -\frac{2}{7}\sqrt{3} b \end{cases} \)

rugując parametr \( b, \) otrzymamy równanie żądanego miejsca geometrycznego punktów

\( \begin{cases} b = y_{0} - \frac{1}{3} x_{0} \\ x_{0} = -\frac{2}{7} \sqrt{3}\left( y_{0} - \frac{1}{3}\sqrt{3} x_{0} \right) \end{cases}\)

\( x_{0} = -\frac{2}{7}\sqrt{3} y_{0} + \frac{6}{21}x_{0} \)

\( x_{0} = -\frac{2}{7}\sqrt{3}y_{0} + \frac{2}{7}x_{0} \)

\( \frac{5}{7}x_{0} + \frac{2}{7}\sqrt{3}y_{0} = 0 \)

\( 5x_{0} + 2\sqrt{3}y_{0} = 0 \)

Miejscem geometrycznym środków cięciw elipsy o równaniu \( x^2 + 4y^2 = 16 \) nachylonych pod kątem \( 30^{o} \) jest prosta \( 5x + 2\sqrt{3}y = 0. \)

[Panko]

Do kompletu :
mamy równanie elipsy \( x^2+ 4y^2=16 \)
weźmy powinowactwo względem osi OX \( \begin{cases}
y_1 =2y\\
x_1 =x
\end{cases} \)
wtedy obrazem elipsy z zadania jest okrąg : \( x_1^2 +y_1^2=16 \)
Weźmy rodzinę prostych siecznych \( y=a \cdot x +b , a= \frac{ \sqrt{3} }{3} \)
Wtedy obrazem tej rodziny jest \( y_1=2a \cdot x_1 +2b \)
Te proste równoległe dają w przecięciu z okręgiem cięciwy równoległe
A te cięciwy w okręgu mają prosty locus środków bo jest on zawarty w prostej prostopadłej \( y_1= -\frac{1}{2a}\cdot
x_1 \)
Wracając do elipsy obrazem tej prostej jest \( y=- \frac{1}{4a}\cdot x \)
Podstawiając za a zadaną wartość dostajemy prostą sieczną \( \) \( y=-\frac{ \sqrt{3} }{4} \cdot x \)
Ta prosta sieczna w przecięciu z elipsą daje odcinek o końcach w punktach Q ,R podanych przez panb
zostaje napisać parametryzację odcinka.