Normalna, styczna i parametr

[anything1327]

Znajdź styczną i normalną do podanej krzywej w punkcie odpowiadającym parametrowi \(t_0\).

a) \(\begin{cases}x = tcos(t^2-1)&\text{}\\y = 3e^{2t-2}&\text{} \end{cases}t_0 = 1\)

b) \(\begin{cases}x = t^3-2t+2&\text{}\\y = ln(t^2+1)&\text{} \end{cases}t_0 = 0\)

[Młodociany całkowicz]

a)
\(\frac{dx}{dt} = \cos(t^2-1) - 2t^2 \sin(t^2-1)\)
\(\frac{dy}{dt} = 6e^{2t-2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{6e^{2t-2}}{\cos(t^2-1) - 2t^2\sin(t^2-1)}\)
\(\frac{dy}{dx}(1) = 6\)
Ogólny wzór na styczną:
\(y = 6x+b\)
\(x(1) = 1\)
\(y(1) = 3\)
A zatem
\(3 = 6 + b \Rightarrow b = -3\)
A zatem styczna ma wzór:
\(y=6x-3\)
Ogólny wzór na noralną:
\(y = -\frac{1}{6}x + c\)
\(3 = -\frac{1}{6} + c \Rightarrow c = \frac{19}{6}\)
Stąd normalna ma wzór:
\(y = -\frac{1}{6}x + \frac{19}{6}\)
b robisz analogicznie.

[janusz55]

Symbolu Leibniza na oznaczenie pochodnej \( \frac{dy}{dx} \) we współczesnej analizie nie można traktować jako zwykłego ilorazu. Chociaż takie traktowanie można spotkać w starszych podręcznikach Analizy.

\(x'(t) = \cos(t^2 -1) -2t^2 \sin(t^2 -1); \)

\( y'(t) = 6e^{2t -2}. \)

\( ( x_{0},\ \ y_{0}) = (x(1), \ \ y(1)) = (1\cos(0), \ \ 3e^{0} ) = (1 , 3). \)

\( x'(1) = \cos(0) - 2\cdot 1^2\sin(0) = 1,\)

\( y'(1) = 6e^{0} = 6.\)

Równanie stycznej:

\( \frac{x-x_{0}}{x'} + \frac{y -y_{0}}{y'} = 1 \)

\( \frac{x -1}{1} + \frac{y-3}{6} = 1\)

\( y - 3 = 6x -6, \)

\( y = 6x - 3 \)

Równanie normalnej:

\( x'\cdot (x -x_{0}) + y' \cdot (y- y_{0}) = 0 \)

\( 1\cdot(x -1) + 6 (y- 3) = 0, \)

\( x -1 + 6y - 18 = 0,\)

\( 6y = -x + 19, \)

\( y = -\frac{1}{6}x +\frac{19}{6}. \)

[Młodociany całkowicz]

Nawet jeśli nie jest to w 100% formalne, jest to efektywna metoda mnemotechniczna i na potrzeby liczenia stycznych, jak najbardziej poprawna, o ile rzecz jasna ma się na uwadze to, że przypadki, w których pochodna nie istnieje należy traktować inaczej. Tak mnie uczył profesor Wituła z Politechniki Śląskiej i nadal to stosuję.

[janusz55]

To źle Pana uczył Pan Profesor w pełni szacunku dla niego.

[Młodociany całkowicz]

Dziękuję zatem, że mnie Pan oświecił. Czy mogę spytać, czy wzór, który Pan przytoczył jest definicją, czy też się go wyprowadza?

[janusz55]

Wzory na styczną i normalną do krzywej można wyprowadzić lub traktować jako definicje.

[anything1327]

Równanie stycznej:
\( \frac{x-x_{0}}{x'} + \frac{y -y_{0}}{y'} = 1 \)

Dlaczego = 1 ?

[janusz55]

Jest postać odcinkowa (normalna) równania stycznej.

Inne postaci równania stycznej:

\( y - y_{0} = y'(x -x_{0}) \)

\( F_{|x}(x-x_{0}) + F_{|y}(y- y_{0}) = 0 \)

\( \frac{x -x_{0}}{x'} = \frac{y -y_{0}}{y'} \)