Jaka funkcja \(f\colon\rr\to\rr\) spełnia dla dowolnej liczby rzeczywistej x równość \(f(x) + 2f(1−x) =x^2\) ?
Z góry dziękuję za pomoc.
Jaka funkcja f
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 10
- Rejestracja: 20 gru 2020, 16:28
- Podziękowania: 2 razy
Jaka funkcja f
Ostatnio zmieniony 20 gru 2020, 19:49 przez grdv10, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wstawienie tagów LaTeX-a.
Powód: Wstawienie tagów LaTeX-a.
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Jaka funkcja f
Wstawiając w tym równaniu \(1-x\) w miejsce \(x\) mamy \(f(1-x)+2f(x)=(1-x)^2.\) Odejmujemy to dwukrotnie od wyjściowego równania dostając \(-3f(x)=x^2-2(1-x)^2,\) skąd \(f(x)=\dfrac{x^2-4x+2}{3}.\) Na koniec sprawdzamy, że zachodzi postulowane równanie, co już zostawiam Tobie do samodzielnego obliczenia.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Jaka funkcja f
Zauważmy, że \(f(1-x)+2f(1-(1-x))=(1-x)^2 \So \begin{cases}2f(x)+f(1-x)=(1-x)^2\\ f(x) + 2f(1−x) =x^2 \end{cases} \So f(x)= \frac{x^2-4x+2}{3} \)mining4321 pisze: ↑20 gru 2020, 17:04 Jaka funkcja \(f\colon\rr\to\rr\) spełnia dla dowolnej liczby rzeczywistej x równość \(f(x) + 2f(1−x) =x^2\) ?
Z góry dziękuję za pomoc.
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Jaka funkcja f
Rozwiązanie identyczne z moim. Zapomniał Pan o konieczności sprawdzenia, że ta funkcja istotnie spełnia to równanie funkcyjne. Posługujemy się tu metodą analizy starożytnych: przypuśćmy, że funkcja \(f\) spełnia to równanie. Tak więc musi być postaci \(f(x)=\frac{x^2-4x+2}{3}.\) No i brakuje nam sprawdzenia, że funkcja \(f\) spełnia postulowane równanie. Dopiero wtedy możemy powiedzieć o zakończeniu rozwiązania.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Jaka funkcja f
Nie miałem świadomości, że Pan też rozwiązuje to zadanie - dla ścisłości.
Jedno z równań układu jest równaniem wyjściowym dlatego darowałem sobie sprawdzanie.
Czy "to równanie funkcyjne" to nie to samo, co "postulowane równanie" ?
Jedno z równań układu jest równaniem wyjściowym dlatego darowałem sobie sprawdzanie.
Czy "to równanie funkcyjne" to nie to samo, co "postulowane równanie" ?
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Jaka funkcja f
Tak, miałem to samo na myśli. Owszem, często się zdarza napisać w tym samym temacie w małej odległości czasowej. Ale chciałem zwrócić uwagę na konieczność tego sprawdzenia. Choćby tak, jak ja to napisałem, bo fizycznie też nie sprawdziłem.
Proste było to równanie. Proponuję inną zabawę. Proszę wyznaczyć wszystkie funkcje różniczkowalne \(f\colon\rr\to\rr\) spełniające równanie funkcyjne\[f(y)-f(x)=f'\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)(y-x)\]dla wszystkich \(x,y\in\rr\) (czyli punkt pośredni opisany twierdzeniem Lagrange'a o wartości średniej jest zawsze środkiem przedziału). Zadanie nie jest trudne, a dobrze wprowadza w dziedzinę równań funkcyjnych. Miłej zabawy.
Proste było to równanie. Proponuję inną zabawę. Proszę wyznaczyć wszystkie funkcje różniczkowalne \(f\colon\rr\to\rr\) spełniające równanie funkcyjne\[f(y)-f(x)=f'\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)(y-x)\]dla wszystkich \(x,y\in\rr\) (czyli punkt pośredni opisany twierdzeniem Lagrange'a o wartości średniej jest zawsze środkiem przedziału). Zadanie nie jest trudne, a dobrze wprowadza w dziedzinę równań funkcyjnych. Miłej zabawy.