Wyznacz wszystkie prostopadłościany

[mining4321]

Wyznacz wszystkie prostopadłościany, których długości krawędzi są liczbami całkowitymi, a pole powierzchni jest liczbowo równe sumie długości krawędzi.

Z góry dziękuję za pomoc.

[panb]

Wyznacz wszystkie prostopadłościany, których długości krawędzi są liczbami całkowitymi, a pole powierzchni jest liczbowo równe sumie długości krawędzi.

Z góry dziękuję za pomoc.

\(2ab+2ac+2bc=4(a+b+c) \So ab+ac+bc=2a+2b+2c \iff \\ \iff a+b+c=a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)\)
Z warunków zadania wynika, że \( a,b,c\in\nn\)
Z zapisu \( a+b+c=a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)\)widać, że równość zachodzi dla a=b=c=2.
Ponadto, gdyby wszystkie z liczb a, b, c były większe od 1, to równość nie mogłaby być spełniona, bo wtedy \(a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)>a+b+c\)
Niech więc a=1. Wtedy
\(a+b+c=a(b-1)+b(c-1)+c(a-1) \iff \\ iff 1+b+c=b-1+b(c-1) \iff c+1=bc-b-1\\
c+2=b(c-1) \So b= \frac{c+2}{c-1}= \frac{c-1+3}{c-1} =1+ \frac{3}{c-1} \)
To ostatnie wyrażenie jest liczba całkowitą dla c=2 oraz c=4.
Jeśli c=2, to b=4, więc mamy trójkę liczb \(a=1, b=4, c=2\)
Jeśli c=4, to b=2, więc mamy trójkę liczb \(a=1, b=2, c=4\).

Postępując analogicznie w przypadku b=1 oraz c=1 dostaniemy wszystkie możliwe rozwiązania problemu.
Wypisanie ich pozostawię autorowi posta jako własny wkład w rozwiązanie zadania.
Przypominam o \(a=b=c=2\) !