Zbadać, czy podane proste są asymptotami pionowymi

[niqo]

Zbadać czy podane proste są asymptotami pionowymi wskazanych funkcji

1. \(f(x)= \frac{x^3-1}{x-1},\,\,\, x=1\)
2. \(f(x)= \frac{x-2}{\sqrt{4-x^2}},\,\,\, x=\pm2\)
3. \(f(x)= \frac{e^{-x}-1}{e^x-1}, \,\,\, x=0 \)

[panb]

Zbadać czy podane proste są asymptotami pionowymi wskazanych funkcji

1. \(f(x)= \frac{x^3-1}{x-1},\,\,\, x=1\)
2. \(f(x)= \frac{x-2}{\sqrt{4-x^2}},\,\,\, x=\pm2\)
3. \(f(x)= \frac{e^{-x}-1}{e^x-1}, \,\,\, x=0 \)

a) \(f(x)= \frac{x^3-1}{x-1}= \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} \text{ więc } \Lim_{x\to 1}f(x)=3\neq\infty \) - nie ma asymptoty
b) \(f(x)= \frac{x-2}{\sqrt{4-x^2}}= \frac{(x-2)\sqrt{4-x^2}}{(x-2)(x+2)} \text{ więc } \Lim_{x\to 2^- } f(x)=0\neq\infty\) - nie ma asymptoty
\(f(x)= \frac{x-2}{\sqrt{4-x^2}}=-\frac{2-x}{\sqrt{4-x^2}} =\frac{\sqrt{2-x}\sqrt{2-x}}{\sqrt{2-x}\sqrt{2+x}} \text{ więc } \Lim_{x\to -2^+ }f(x)= \frac{-2}{0}=-\infty \) jest asymptota (lewostronna) \(x=-2\)
c) \( \Lim_{x\to 0} \frac{e^{-x}-1}{e^x-1}= \begin{vmatrix}e^{-x}=t\\x \to 0 \So t \to 1 \end{vmatrix}= \Lim_{t\to 1 } \frac{t-1}{ \frac{1}{t} -1} = \Lim_{t\to 1 } \frac{t(t-1)}{ 1-t} = \Lim_{t\to 1 } -\frac{t(1-t)}{1-t}=-1 \neq\infty \) - nie ma asymptoty

[Jerry]

Albo:

Zbadać czy podane proste są asymptotami pionowymi wskazanych funkcji
c) \(f(x)= \frac{e^{-x}-1}{e^x-1}, \,\,\, x=0 \)

Wykres funkcji
\(f(x)= \frac{e^{-x}-1}{e^x-1}\cdot {e^x\over e^x}={1-e^x\over(e^x-1)\cdot e^x}={-1\over e^x}=-e^{-x}\wedge x\ne0\)
Pozsiada asymptotę poziomą R-stronna \(y=0\), ale pionowych nie posiada, bo
\(\Lim_{x\to 0}f(x)=-e^{-0}=-1\ne\pm\infty\)

Pozdrawiam