Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Wyznaczyć środki, współczynniki oraz obliczyć promienie zbieżności podanych szeregów potęgowych.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Definicja 1
Załóżmy, że \(x_0\) jest ustaloną liczbą rzeczywistą oraz \((c_n)\) jest nieskończonym ciągiem liczbowym.
Szereg \[ \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\ldots \] gdzie \(x\in\rr \) nazywamy szeregiem potęgowym o środku \(x_0\) i współczynnikach \(c_0, c_1, c_2, \ldots\)
Definicja 2
Jeżeli istnieje granica \( \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{c_n}=q \), to liczbę R określoną następująco \[ \begin{cases} R=0 & \text{ w przypadku, gdy }& q=\infty \\R=\infty & \text{ w przypadku, gdy }& q=0\\ R= \frac{1}{q}& \text{ w przypadku, gdy }&x\in(0,\infty) \end{cases} \] nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego \(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\)
Czy to załatwia problem? Jeśli nie, to z czym jest kłopot?
Załóżmy, że \(x_0\) jest ustaloną liczbą rzeczywistą oraz \((c_n)\) jest nieskończonym ciągiem liczbowym.
Szereg \[ \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\ldots \] gdzie \(x\in\rr \) nazywamy szeregiem potęgowym o środku \(x_0\) i współczynnikach \(c_0, c_1, c_2, \ldots\)
Definicja 2
Jeżeli istnieje granica \( \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{c_n}=q \), to liczbę R określoną następująco \[ \begin{cases} R=0 & \text{ w przypadku, gdy }& q=\infty \\R=\infty & \text{ w przypadku, gdy }& q=0\\ R= \frac{1}{q}& \text{ w przypadku, gdy }&x\in(0,\infty) \end{cases} \] nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego \(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\)
Czy to załatwia problem? Jeśli nie, to z czym jest kłopot?
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Szczerze mówiąc liczyłem na konkretne odpowiedzi, ponieważ muszę to mieć na jutro a ciężko mi idzie zrozumienie szeregów, takie definicje również mam jednak nic mi one nie wyjaśniają Jeżeli jest taka szansa to czy poleca pan jakieś tłumaczenia na youtube, ponieważ na lekcji to nawet nie wiem o co zapytać nauczyciela tak szczerzepanb pisze: ↑25 lis 2020, 19:15 Definicja 1
Załóżmy, że \(x_0\) jest ustaloną liczbą rzeczywistą oraz \((c_n)\) jest nieskończonym ciągiem liczbowym.
Szereg \[ \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\ldots \] gdzie \(x\in\rr \) nazywamy szeregiem potęgowym o środku \(x_0\) i współczynnikach \(c_0, c_1, c_2, \ldots\)
Definicja 2
Jeżeli istnieje granica \( \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{c_n}=q \), to liczbę R określoną następująco \[ \begin{cases} R=0 & \text{ w przypadku, gdy }& q=\infty \\R=\infty & \text{ w przypadku, gdy }& q=0\\ R= \frac{1}{q}& \text{ w przypadku, gdy }&x\in(0,\infty) \end{cases} \] nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego \(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\)
Czy to załatwia problem? Jeśli nie, to z czym jest kłopot?
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Do jutra jeszcze daleko. Środek jest prostą sprawą i na pewno dasz radę.
Oto przykład:
a)\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{2^n}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}(x-3)^n \)
Jeśli to porównasz z definicją, to na pewno zauważysz, że środek \(x_0=3\). Policz pozostałe, podaj wyniki - pomyślimy o promieniach zbieżności.
Podaj odpowiedzi do b) i c)
Oto przykład:
a)\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{2^n}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}(x-3)^n \)
Jeśli to porównasz z definicją, to na pewno zauważysz, że środek \(x_0=3\). Policz pozostałe, podaj wyniki - pomyślimy o promieniach zbieżności.
Podaj odpowiedzi do b) i c)
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Z tego co mi się wydaję to w b) środek będzie -5, a w c) ten sin trzeba jakoś usunąć chyba a i nie będzie to po prostu -1?
Ja naprawdę nic nie rozumiem z tego
Ja naprawdę nic nie rozumiem z tego
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
To teraz obiecane promienie.
Najpierw trzeba zidentyfikować \((c_n)\), zrobię przykład c), bo widzę, że masz z tym problem.
Weźmy szereg \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sin \frac{1}{n}(x+1)^n \). Jeśli "zasłonimy" ten fragment z iksem, to zostaje \(c_n=\sin \frac{1}{n} \)
Teraz stosujemy definicję 2.
\[q= \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{c_n}=\Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\sin \frac{1}{n}} =0 \]
Zgodnie z definicją 2, \(R=\infty\).
Zidentyfikuj \(c_n\) w podpunktach a) i b). Jeśli nie dasz rady policzyć granic, pomogę.
Najpierw trzeba zidentyfikować \((c_n)\), zrobię przykład c), bo widzę, że masz z tym problem.
Weźmy szereg \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sin \frac{1}{n}(x+1)^n \). Jeśli "zasłonimy" ten fragment z iksem, to zostaje \(c_n=\sin \frac{1}{n} \)
Teraz stosujemy definicję 2.
\[q= \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{c_n}=\Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\sin \frac{1}{n}} =0 \]
Zgodnie z definicją 2, \(R=\infty\).
Zidentyfikuj \(c_n\) w podpunktach a) i b). Jeśli nie dasz rady policzyć granic, pomogę.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Wiedziałem, że ci to sprawi przyjemność. Mała rzecz, a cieszy!
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
W przykładzie b) R = 3/5 a w a) R = nieskończoność?
Cieszy w końcu coś rozumiem
Cieszy w końcu coś rozumiem
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
No już myślałem, że czeka mnie bezrobocie.
Na szczęście w a) jest źle. Po prostu ręka wyprzedziła myśl.
\(c_n= \frac{1}{2^n} \So \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2} \)
Dalej już na pewno poleci....
Na szczęście w a) jest źle. Po prostu ręka wyprzedziła myśl.
\(c_n= \frac{1}{2^n} \So \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2} \)
Dalej już na pewno poleci....
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
No w końcu musiałem popełnić błąd
Czyli R = 2 w przykładzie a)?
obliczanie zbieżności raczej ciężko mi idzie byłbym wdzięczny za wytłumaczenie również
Czyli R = 2 w przykładzie a)?
obliczanie zbieżności raczej ciężko mi idzie byłbym wdzięczny za wytłumaczenie również
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
R=2, jest ok. Jeśli policzyłeś dobrze podpunkt b) to w a) po prostu się pomyliłeś.
Policzyłeś granicę z \( \frac{1}{2^n}=0\) i analogicznie do podpunktu c) zareagowałeś.
Tutaj jednak da się policzyć \( \sqrt[n]{ \frac{1}{2^n}}= \frac{1}{2} \), więc \( \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{2^n}}= \Lim_{n\to \infty} \frac{1}{2}= \frac{1}{2} \)
Policzyłeś granicę z \( \frac{1}{2^n}=0\) i analogicznie do podpunktu c) zareagowałeś.
Tutaj jednak da się policzyć \( \sqrt[n]{ \frac{1}{2^n}}= \frac{1}{2} \), więc \( \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{2^n}}= \Lim_{n\to \infty} \frac{1}{2}= \frac{1}{2} \)
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Okej rozumiem, miałem na myśli w poprzednim pytaniu dokładniej jak określić teraz czy szereg jest zbieżny lub rozbieżny. W wzorach co mam tu podane są jakieś przedziały ale nie wiem za bardzo jak to odczytać
Re: Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie
Jednak już wszystko jest pogubiłem się trochę, dziękuję za pomoc