boki i przekątne wielokąta

[radagast]

Dany jest wielokąt wpisany w okrąg i w którym żadne trzy przekątne nie wychodzące z jednego wierzchołka nie mają punktu wspólnego. Na ile części dzielą płaszczyznę boki i przekątne tego wielokąta ?

[Jerry]

Rozpatrzmy problem podziału płaszczyzny \(n\) prostymi, wśród których nie ma par równoległych ani trójek współpunktowych:
Brak prostych - jedna, cała płaszczyzna, pierwsza prosta dzieli płaszczyznę na dwie części (dołoży jedną część), druga "dołoży" dwie części, trzecia - trzy, itd... Zatem, moim zdaniem, liczba ta będzie równa \(1+1+2+3+4+\cdots+n=\cdots\).

Schemat ten przeniesie się na wnętrze wielokąta i \(n={w(w-3)\over2}\), gdzie \(w\in\zz\wedge n>2\) jest ilością wierzchołków wielokąta. Pozostaje dodać zewnętrze...

Pozdrawiam

[Jerry]

Schemat ten przeniesie się na wnętrze wielokąta ...

Niestety - nie! Przecież wcześniej

Rozpatrzmy problem podziału płaszczyzny \(n\) prostymi, wśród których nie ma par równoległych ani trójek współpunktowych...

A przekątne mogą się nie przecinać...
Zawiodła mnie intuicja, przepraszam!

Pozdrawiam
PS. Prześpię się z tym problemem.