Zbadaj monotoniczność ciągu

[damian28102000]

Mam problem z przykładem

\(a_n=\frac{12^n}{n!} \)

Mój obecny schemat działania, wygląda tak, że:

\(\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}*\frac{n!}{12^n}=\) ale tak naprawdę, nie wiem co dalej...

[Jerry]

Formalniej:
\(\Lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{12^n}=\Lim_{n\to\infty}{12\over n+1}=0<1\)
zatem
\(\Lim_{n\to\infty}a_n=0\)

Pozdrawiam

[damian28102000]

Bardzo dziękuję, ale nie mógłby mi Pan to rozwiązać tym "moim" sposobem?
Nie lubię dostawać gotowców, ale kompletnie nie wiem jak to "rozwalić zadanie".

[Jerry]

Przeczytałem temat... zasugerowałeś mi

Mój obecny schemat działania, wygląda tak, że:...

liczenie granicy

Ponieważ
\(a_{n+1}-a_n=\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{12^n}{n!} =\frac{12^n}{n!}\cdot{12-n-1\over n+1}\)
to \((a_n)\) malejący od \(n=12\)

Pozdrawiam

[Jerry]

... tym "moim" sposobem?...

OK. Wobec dodatniości wyrazów ciągu, rozpatrzmy
\({a_{n+1}\over a_n}=\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{12^n}={12\over n+1}=q_n\)
Dla \(n>12\) mamy \(q_n<1\), czyli \(a_{n+1}<a_n\)

Pozdrawiam

[damian28102000]

Przeczytałem temat... zasugerowałeś mi

Mój obecny schemat działania, wygląda tak, że:...

liczenie granicy

Ponieważ
\(a_{n+1}-a_n=\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{12^n}{n!} =\frac{12^n}{n!}\cdot{12-n-1\over n+1}\)
to \((a_n)\) malejący od \(n=12\)

Pozdrawiam

WoW, przepraszam, że tak męczę o takiej późnej porze, ale dlaczego nagle z odejmowanie robi się mnożenie. Bo sprawa wygląda tak, że próbuję ogarniać jakieś gotowe przykłady z internetu, ale tam wszystko jest pomijane, a mi nie zależy na przykładzie, ale aby to zrozumieć...

[damian28102000]

Znaczy trochę nie jasno się wyraziłem, miałem na myśli, że praktycznie całość obliczeń, jak tutaj jest pomijana, i tak naprawdę, nie wiem skąd, gdzie dlaczego. Ustaliłem, że iloraz w przypadku przykładów jest lepszy (przynajmniej tak mi powiedziano), ale co później się dzieje to czarna magia...

[Jerry]

... dlaczego nagle z odejmowanie robi się mnożenie. ...

Po prostu wyłączyłem przed "nawias", a w "nawiasie" odjąłem, dla skrócenia zapisu, w pamięci.

Przeczytaj na spokojnie cały wątek... monotoniczność, z definicji, określa się odejmowaniem. W szczególnych przypadkach, dla ciągów o wyrazach dodatnich - dzieleniem.

Pozdrawiam
PS. Granicę pomiń - za późno zrozumiałem Twój problem.
PPS. Tu nie musisz nam Panować...

[Jerry]

monotoniczność, z definicji, określa się odejmowaniem. W szczególnych przypadkach, dla ciągów o wyrazach dodatnich - dzieleniem.

\((a_n)\), z definicji, jest rosnący wtw, gdy \(\forall_{n\in\nn_+}a_{n+1}>a_n\)
Dla \(a_n>0\) jest to równoważne \({a_{n+1}\over a_n}>1\)
Analogicznie dla ciągów malejących, nierosnących cz niemalejących...
Rozszerzyłem ten problem na malenie od pewnego miejsca - niektórzy ćwikowcy tego oczekują...

Pozdrawiam