Mam problem z przykładem
\(a_n=\frac{12^n}{n!} \)
Mój obecny schemat działania, wygląda tak, że:
\(\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}*\frac{n!}{12^n}=\) ale tak naprawdę, nie wiem co dalej...
Zbadaj monotoniczność ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Zbadaj monotoniczność ciągu
Ostatnio zmieniony 18 lis 2020, 00:16 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu
Powód: poprawa kodu
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Zbadaj monotoniczność ciągu
Formalniej:
\(\Lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{12^n}=\Lim_{n\to\infty}{12\over n+1}=0<1\)
zatem
\(\Lim_{n\to\infty}a_n=0\)
Pozdrawiam
\(\Lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{12^n}=\Lim_{n\to\infty}{12\over n+1}=0<1\)
zatem
\(\Lim_{n\to\infty}a_n=0\)
Pozdrawiam
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Zbadaj monotoniczność ciągu
Bardzo dziękuję, ale nie mógłby mi Pan to rozwiązać tym "moim" sposobem?
Nie lubię dostawać gotowców, ale kompletnie nie wiem jak to "rozwalić zadanie".
Nie lubię dostawać gotowców, ale kompletnie nie wiem jak to "rozwalić zadanie".
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Zbadaj monotoniczność ciągu
Przeczytałem temat... zasugerowałeś mi
Ponieważ
\(a_{n+1}-a_n=\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{12^n}{n!} =\frac{12^n}{n!}\cdot{12-n-1\over n+1}\)
to \((a_n)\) malejący od \(n=12\)
Pozdrawiam
liczenie granicy
Ponieważ
\(a_{n+1}-a_n=\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{12^n}{n!} =\frac{12^n}{n!}\cdot{12-n-1\over n+1}\)
to \((a_n)\) malejący od \(n=12\)
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Zbadaj monotoniczność ciągu
OK. Wobec dodatniości wyrazów ciągu, rozpatrzmy
\({a_{n+1}\over a_n}=\frac{12^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{12^n}={12\over n+1}=q_n\)
Dla \(n>12\) mamy \(q_n<1\), czyli \(a_{n+1}<a_n\)
Pozdrawiam
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Zbadaj monotoniczność ciągu
WoW, przepraszam, że tak męczę o takiej późnej porze, ale dlaczego nagle z odejmowanie robi się mnożenie. Bo sprawa wygląda tak, że próbuję ogarniać jakieś gotowe przykłady z internetu, ale tam wszystko jest pomijane, a mi nie zależy na przykładzie, ale aby to zrozumieć...
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Zbadaj monotoniczność ciągu
Znaczy trochę nie jasno się wyraziłem, miałem na myśli, że praktycznie całość obliczeń, jak tutaj jest pomijana, i tak naprawdę, nie wiem skąd, gdzie dlaczego. Ustaliłem, że iloraz w przypadku przykładów jest lepszy (przynajmniej tak mi powiedziano), ale co później się dzieje to czarna magia...
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Zbadaj monotoniczność ciągu
Po prostu wyłączyłem przed "nawias", a w "nawiasie" odjąłem, dla skrócenia zapisu, w pamięci.
Przeczytaj na spokojnie cały wątek... monotoniczność, z definicji, określa się odejmowaniem. W szczególnych przypadkach, dla ciągów o wyrazach dodatnich - dzieleniem.
Pozdrawiam
PS. Granicę pomiń - za późno zrozumiałem Twój problem.
PPS. Tu nie musisz nam Panować...
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Zbadaj monotoniczność ciągu
\((a_n)\), z definicji, jest rosnący wtw, gdy \(\forall_{n\in\nn_+}a_{n+1}>a_n\)
Dla \(a_n>0\) jest to równoważne \({a_{n+1}\over a_n}>1\)
Analogicznie dla ciągów malejących, nierosnących cz niemalejących...
Rozszerzyłem ten problem na malenie od pewnego miejsca - niektórzy ćwikowcy tego oczekują...
Pozdrawiam