Miara skończona

[Fretkonur]

Niech µ będzie miarą skończoną na σ-algebrze Σ podzbiorów zbioru S. Załóżmy istnienie zbiorów \(A_1,...,A_n \in Σ\) o własności
\( \sum_{n}^{i=1} \)µ\((A_i)> (n-1)\)µ(S)
Pokazać, że µ\(( \bigcap_{i=1}^{n} A_i)>0\)

[grdv10]

Mamy \(\mu(S)=\mu(S\cap A_i)+\mu(S\setminus A_i)=\mu(A_i)+\mu(S\setminus A_i)\), skąd \(\mu(S\setminus A_i)=\mu(S)-\mu(A_i)\).

Przypuścmy, że \[\mu\left(\bigcap_{i=1}^nA_i\right)=0.\]Zatem\[\mu\left(S\setminus\bigcap_{i=1}^nA_i\right)=\mu(S).\]Korzystamy z praw de Morgana i podaddytywności miary.
\[\mu(S)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^n(S\setminus A_i)\right)\leqslant\sum_{i=1}^n\mu(S\setminus A_i)=\sum_{i=1}^n\bigl(\mu(S)-\mu(A_i)\bigr)=n\mu(S)-\sum_{i=1}^n\mu(A_i).\]Przekształcając tę nierówność łatwo dochodzimy do\[(n-1)\mu(S)\geqslant\sum_{i=1}^n\mu(A_i)\]wbrew założeniu.

[Fretkonur]

Wielkie dzięki, nigdy bym na to nie wpadł.