Rozwiąż równanie

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
anything1327
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 23
Rejestracja: 10 lis 2019, 09:18
Podziękowania: 34 razy
Płeć:

Rozwiąż równanie

Post autor: anything1327 » 13 paź 2020, 10:14

a) \(|z|^2 - z = 4 - 2i\)
b) \(|z|+ \kre{z} = 0\)
c) \(z^2 + 6\kre{z} = 9Re(z) + 4Im(z)\)
d) \(z \kre{z} = Im(z-1+2i) + iz\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3951
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 1444 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: panb » 13 paź 2020, 12:41

anything1327 pisze:
13 paź 2020, 10:14
a) \(|z|^2 - z = 4 - 2i\)
Niech \(z=x+yi,\quad x,y\in\rr\). Wtedy
\(|z|^2 - z = 4 - 2i \iff x^2+y^2-x-yi=4-2i \iff (x^2+y^2-x)-yi=4-2i \So \begin{cases} y=2 \\x^2+2^2-x=4\end{cases} \\
\begin{cases} x(x-1)=0\\y=2\end{cases} \iff \begin{cases}x=0\\y=2 \end{cases} \vee \begin{cases}x=1\\y=2 \end{cases} \iff z=2i \vee z=1+2i \)


Sprawdzenie

\(z=2i \So |z|^2=4 \So |z|^2-z=4-2i\\
z=1+2i \So |z|^2=1+5=5 \So |z|^2-z=5-(1+2i)=4-2i\)

Odpowiedź: \(|z|^2 - z = 4 - 2i \iff z=2i \vee z=1+2i\)

Inne robi się podobnie. Dasz radę?

anything1327
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 23
Rejestracja: 10 lis 2019, 09:18
Podziękowania: 34 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: anything1327 » 13 paź 2020, 12:45

panb pisze:
13 paź 2020, 12:41
Inne robi się podobnie. Dasz radę?
Napisałem te przykłady bo tylko z nimi mam problem :/ Z góry dziękuje

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3951
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 1444 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: panb » 13 paź 2020, 12:47

Czyli dasz radę, czy nie? Teraz jak już wiesz jak je robić.

anything1327
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 23
Rejestracja: 10 lis 2019, 09:18
Podziękowania: 34 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: anything1327 » 13 paź 2020, 12:54

c) ogarnę ale b) i d) nie ogarniam

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3951
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 1444 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: panb » 13 paź 2020, 12:57

anything1327 pisze:
13 paź 2020, 10:14
b) \(|z|+ \kre{z} = 0\)
Niech \(z=x+iy,\quad x,y\in\rr \So |z|=\sqrt{x^2+y^2},\,\,\, \kre{z}=x-yi\)
Wobec tego \(|z|+\kre{x}=0 \iff \sqrt{x^2+y^2}+x-iy=0 \So \begin{cases} y=0\\\sqrt{x^2}+x=0\end{cases}\\
\begin{cases}|x|+x=0\\y=0 \end{cases} \iff \begin{cases}x\le0\\y=0 \end{cases} \)

Zatem \(z=x, \,\,x\le0, \,\,x\in\rr\)

Sprawdzenie
\(z=x \So |z|=|x|=-x, \,\, \kre{z}=x \So |z|+\kre{z}=-x+x=0\)

Odpowiedź: \(|z|+ \kre{z} = 0 \iff z=x, x\le0 , x\in\rr\)


Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3951
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 1444 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: panb » 13 paź 2020, 13:12

anything1327 pisze:
13 paź 2020, 10:14
d) \(z \kre{z} = Im(z-1+2i) + iz\)
Niech \( z=x+yi ,\quad x,y\in\rr\). Wtedy
\(\kre{z}=x-yi \So z\kre{z}=x^2+y^2\\
z-1+2i=x+yi-1+2i=(x-1)+(y+2)i \So Im(z-1+2i)=y+2\\
iz=xi-y\)

Wstawiamy:
\(z \kre{z} = Im(z-1+2i) + iz \iff x^2+y^2=y+2+ix-y \iff x^2+y^2-ix=2\\
\begin{cases}x=0\\y^2=2 \end{cases} \iff \begin{cases}x=0\\y=\sqrt2 \end{cases} \vee \begin{cases} x=0\\y=-\sqrt2\end{cases} \So z=i\sqrt2 \vee z=-i\sqrt2 \)


Sprawdzenie

\(z=i\sqrt2 \So z \kre{z} = Im(z-1+2i) + iz \iff 2=\sqrt2+2-\sqrt2 =2\\
z=-i\sqrt2 \So z \kre{z} = Im(z-1+2i) + iz \iff 2=-\sqrt2+2-(-\sqrt2)=2\)

Odpowiedź: \(z \kre{z} = Im(z-1+2i) + iz \iff z=i\sqrt2 \vee z=-i\sqrt2\)


anything1327
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 23
Rejestracja: 10 lis 2019, 09:18
Podziękowania: 34 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: anything1327 » 13 paź 2020, 13:36

A jak mam taki przykład:

\(|z|^2 +2i = 5 - i * Im(\kre{ z })\)

To co zrobić z tym \(Im(\kre{z})\)?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3951
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 1444 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: panb » 13 paź 2020, 16:57

anything1327 pisze:
13 paź 2020, 13:36
A jak mam taki przykład:

\(|z|^2 +2i = 5 - i * Im(\kre{ z })\)

To co zrobić z tym \(Im(\kre{z})\)?
\(\kre{z}=x-iy \So Im(\kre{z})=-y\)