Monotoniczne drogi

[takamatematyka]

Niech \(n \geq 0\), \(n \in \mathbb{Z}\). Startujemy w zerze i przesuwamy się o jedną pozycję w lewo lub w prawo.
- Liczba wszystkich dróg długości \(2n\) kończących się w \(0\) wynosi \(\binom{2n}{n}\).
- Liczba wszystkich dróg długości \(2n\) kończących się w \(0\) i spędzających czas po dodatniej stronie osi wynosi \(c_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\), gdzie \(c_n\) oznacza \(n\)-ty wyraz ciągu Catalana
- Jeśli \(n>0\), to liczba wszystkich dróg długości \(2n\) kończących się w \(0\), spędzających czas po dodatniej stronie osi i powracających do \(0\) po raz pierwszy w chwili \(2n\) wynosi \(c_{n-1}\)

Proszę o pomoc w udowodnieniu powyższego twierdzenia

[korki_fizyka]

co to znaczy "spędzających czas" ? wtedy powinna być podana szybkość przesuwania się, mi się to kojarzy z zagadnieniem błądzenia we mgle albo po ciemku ale wtedy, co udowodniono, prawonożni częściej skręcają w lewo niż w prawo