Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia

[CoCo1997]

Zbadać przebieg zmienności funkcji kosztu jednostkowego (przeciętnego), jeśli koszt całkowity opisuje funkcja: \(K(x)= xe^{0,5 x^2-80x}\)

[korki_fizyka]

https://www.matemaks.pl/badanie-przebie ... nkcji.html

[panb]

Zbadać przebieg zmienności funkcji kosztu jednostkowego (przeciętnego), jeśli koszt całkowity opisuje funkcja: \(K(x)= xe^{0,5 x^2-80x}\)

Trudno się wypowiadać na temat dziedziny. Skoro \(x\) to koszt jednostkowy, to pewnie \(x\ge 0\). Na szczęście temat postu sugeruje, że masz problemy z wypukłością, wklęsłością itp.
Najpierw pierwsza pochodna: \(\displaystyle K'(x)=e^{0,5 x^2-80x} \left(x^2-80x+1 \right) \\ K'(x)=0\iff x^2-80x+1=0 \iff x= \frac{1}{40+\sqrt{1599}}\approx 0,0125 \vee x=40+\sqrt{1599}\approx 80 \\ K'(x)>0 \iff x\in (0,0.0125) \cup (80,+\infty)\\ K'<0 \iff x\in (0,0125,80) \So \text{ znak pochodnej wygląda tak } 0 ++ 0.0125 --- 80 +++\)

Wniosek:

• funkcja \(K(x)\) osiąga maksimum lokalne dla \(x\approx 0,0125, \quad K(0,0125)\approx 0,005 \) oraz minimum lokalne dla \(x\approx 80, \quad K(80)\approx 0\)

Teraz badamy drugą pochodną.
\(K''(x)=e^{0,5 x^2-80x} \left( x^3-160x^2+6403x-160\right) \\
K''(x)=0 \iff x^3-160x^2+6403x-160=0 \iff x\approx 0,025\\ K''(x)>0 \text{ dla } x>0,025 \text{ oraz } K''(x)<0 \text{ dla } x<0,025\\
\text{ znak pochodnej wygląda tak } 0 --- 0,025 +++\)

Wniosek:

• funkcja K(x) jest wypukła (jak parabola \(\,\, y=-x^2\)) dla x<0,025 oraz wklęsła (tak jak parabola \( \,\,y=x^2\)) dla x>0,025. Dla \(x\approx 0,025\) funkcja posiada punkt przegięcia, \(K(0,025)\approx 0,003\)