Wykż niewymierność liczby
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
-
- Guru
- Posty: 17554
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re: Wykż niewymierność liczby
Rozważmy równanie: \(x^2-5=0\)
\( \sqrt{5} \) jest jego pierwiastkiem.
Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów o współczynnikach całkowitych wynika, że jedynymi wymiernymi pierwiastkami wielomianu \(x^2-5=0\) mogłyby być liczby : -1,1,-5,5.
Wniosek:\( \sqrt{5} \) nie jest liczbą wymierną. Jest więc liczbą niewymierną
CBDO
\( \sqrt{5} \) jest jego pierwiastkiem.
Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów o współczynnikach całkowitych wynika, że jedynymi wymiernymi pierwiastkami wielomianu \(x^2-5=0\) mogłyby być liczby : -1,1,-5,5.
Wniosek:\( \sqrt{5} \) nie jest liczbą wymierną. Jest więc liczbą niewymierną
CBDO
-
- Guru
- Posty: 17554
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re: Wykż niewymierność liczby
A można też tak:
załóżmy że \( \sqrt{5} \) jest liczbą wymierną . Wtedy \( \sqrt{5} = \frac{p}{q} \), przy czym \(p,q \in N\)
czyli \(q \sqrt{5} =p\), a po podniesieniu do kwadratu: \(5q^2=p^2\).
Rozważmy teraz liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby \(p^2\) - jest parzysta.
Rozważmy teraz liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby \(5q^2\) - jest nieparzysta.
Daje to sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Liczba \( \sqrt{5} \) jest więc niewymierna .
CBDO
załóżmy że \( \sqrt{5} \) jest liczbą wymierną . Wtedy \( \sqrt{5} = \frac{p}{q} \), przy czym \(p,q \in N\)
czyli \(q \sqrt{5} =p\), a po podniesieniu do kwadratu: \(5q^2=p^2\).
Rozważmy teraz liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby \(p^2\) - jest parzysta.
Rozważmy teraz liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby \(5q^2\) - jest nieparzysta.
Daje to sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Liczba \( \sqrt{5} \) jest więc niewymierna .
CBDO
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: Wykż niewymierność liczby
A dlaczego liczba piątek w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \( p^2\) jest parzysta a w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(5q^2\) jest nieparzysta.
-
- Guru
- Posty: 17554
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re: Wykż niewymierność liczby
\(p^2=p \cdot p\)
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p\) jest k piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p \cdot p\) jest 2k piątek
\(5q^2=5 \cdot q \cdot q\)
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q\) jest l piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q \cdot q\) jest 2l piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(5 \cdot q \cdot q\) jest 2l +1piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p\) jest k piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p \cdot p\) jest 2k piątek
\(5q^2=5 \cdot q \cdot q\)
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q\) jest l piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q \cdot q\) jest 2l piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(5 \cdot q \cdot q\) jest 2l +1piątek