Znajdź równanie prostej, punkt przecięcia

[2001]

Zadanie 1
Znaleźć punkt przecięcia prostej danej równaniem krawędziowym
\(\left\{\begin{array}{rcl}
2x+y+z-1&=&0\\
3x+y+2z-3&=&0\\
\end{array} \right.\)
z prostą prostopadłą do niej i przechodzącą przez punkt (1, 3, 5).

Mam postać parametryczną
\(\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&2-t\\
y&=&-3+t\\
z&=&t
\end{array} \right.\)

Zadanie 2
Znaleźć równanie prostej leżącej na płaszczyźnie y+2z = 0 i przecinającej
proste l1 : x = 1 − t, y = t, z = 4t i l2 : x = 2 − t, y = 4 + 2t, z = 1.

Zadanie 3
Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P(3, −1, −4), przecinającej os OY równoległej do płaszczyzny y + 2z = 0

Zadanie 4
Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P(0, 1, 1), prostopadłej do prostej l1 : y + 1 = 0, x + 2z − 7 = 0 i przecinającą prostą l1 : x − 1 = 0, z + 1 = 0

[panb]

Zadanie 1
Znaleźć punkt przecięcia prostej danej równaniem krawędziowym
\(\left\{\begin{array}{rcl}
2x+y+z-1&=&0\\
3x+y+2z-3&=&0\\
\end{array} \right.\)
z prostą prostopadłą do niej i przechodzącą przez punkt (1, 3, 5).

Mam postać parametryczną
\(\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&2-t\\
y&=&-3+t\\
z&=&t
\end{array} \right.\)

Niech\( P=(x_0,y_0,z_0)\) będzie szukanym punktem przecięcia.
Ponieważ leży on na danej prostej, więc \(P=(2-t,-3+t,t)\). Co więcej, jeśli oznaczymy\( Q=(1,3,5)\), to wektor \(\vec{PQ}=[1-2+t, 3+3-t,5-t]=[t-1,6-t,5-t]\) jest prostopadły do wektora [-1,1,1] równoległego do danej prostej .
Czyli \(0=\vec{PQ} \circ [-1,1,1]=1-t+6-t+5-t \So t=4\)

Wstawiając t=4, otrzymujemy szukany punkt przecięcia \(P=(-2,1,4)\).

[radagast]

Zadanie 1
Znaleźć punkt przecięcia prostej danej równaniem krawędziowym
\(\left\{\begin{array}{rcl}
2x+y+z-1&=&0\\
3x+y+2z-3&=&0\\
\end{array} \right.\)
z prostą prostopadłą do niej i przechodzącą przez punkt (1, 3, 5).

Mam postać parametryczną
\(\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&2-t\\
y&=&-3+t\\
z&=&t
\end{array} \right.\)

Wektor równoległy do prostej : \( \left[ -1,1,1\right] \)
Napiszmy równanie płaszczyzny prostopadłej do tej prostej przechodzącej przez punkt (1,3,5):
\(-x+y+z+D=0\)
\(-1+3+5+D=0 \So D=-7\)
\(-x+y+z-7=0\)
Znajdźmy punkt przecięcia prostej i płaszczyzny (będzie to równocześnie punkt przecięcia prostej z prostą prostopadłą do niej i przechodzącą przez punkt (1, 3, 5)):
\(-2+t-3+t+t-7=0 \So t=4\)
odp: Szukany punkt to \(\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&2-4\\
y&=&-3+4\\
z&=&4
\end{array} \right.\) czyli \((-2,1,4)\).

[radagast]

Zadanie 2
Znaleźć równanie prostej leżącej na płaszczyźnie y+2z = 0 i przecinającej
proste l1 : x = 1 − t, y = t, z = 4t i l2 : x = 2 − t, y = 4 + 2t, z = 1.

1) Napiszmy równanie płaszczyzny \(\pi\) wyznaczonej przez proste \(l_1 \) i \(l_2\)
2) równanie krawędziowe szukanej prostej to \( \begin{cases}\pi\\y+2z = 0 \end{cases} \)
ad 1)
wektor kierunkowy \(l_1 \) to \(\left[-1,1,4 \right]\)
wektor kierunkowy \(l_2\) to \(\left[-1,2,0 \right]\)
wektor prostopadły do płaszczyzny \(\pi\) to \(\left[-1,1,4 \right]\times \left[-1,2,0 \right]= \left[-8,-4,3 \right] \)
Równanie płaszczyzny \(\pi\) \(-8x-4y+3z+D=0\) , a ponieważ przechodzi przez punkt (1,0,0) ( bo \(l_1\) przezeń przechodzi) to D=8

ad 2)
równanie krawędziowe szukanej prostej to \( \begin{cases}-8x-4y+3z+8=0\\y+2z = 0 \end{cases} \)

[radagast]

Zadanie 3
Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P(3, −1, −4), przecinającej os OY równoległej do płaszczyzny y + 2z = 0

1) napiszmy równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny y + 2z = 0 i przechodzącej przez punkt P(3, −1, −4)
2) znajdźmy jej punkt przecięcia z osią OY i oznaczmy go A
3) napiszmy równanie prostej PA - będzie to szukana prosta .

[radagast]

Zadanie 4
Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P(0, 1, 1), prostopadłej do prostej l1 : y + 1 = 0, x + 2z − 7 = 0 i przecinającą prostą l2 : x − 1 = 0, z + 1 = 0

1) napiszmy równanie płaszczyzny \(\pi\) prostopadłej do \(l_1\) przechodzącej przez punkt P(0, 1, 1)
2) przetnijmy \(\pi\) z prostą \(l_2\) . Punkt przecięcia oznaczmy B
3) napiszmy równanie prostej PB - będzie to szukana prosta .