Wykaż, że płaszczyzna ma punkt wspólny z odcinkiem

[2001]

1)
Wykazać, że płaszczyzna 2x − 3y + 6z − 11 = 0 ma punkt wspólny
z odcinkiem o końcach A(−1, 1, −2) i B(1, 0, 5)

2)Dane są dwa punkty A(3, 5, 1) i B(2, −6, 3). W jakim stosunku punkt C
przecięcia prostej AB z płaszczyzną 2x − 3y + 6z − 1 = 0 dzieli odcinek AB?

3) Znaleźć równanie płaszczyzny przecinającej w punkcie P(2, 6, −4) prostą
prostopadłą do niej i przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

[radagast]

1)
Wykazać, że płaszczyzna 2x − 3y + 6z − 11 = 0 ma punkt wspólny
z odcinkiem o końcach A(−1, 1, −2) i B(1, 0, 5)

\( \vec{AB}=[2,-1,7] \)
prosta \(AB\) ma więc przedstawienie parametryczne:
\( \begin{cases} x=2t-1\\y=-t+1\\z=7t-2\end{cases}\)

\(2(2t-1) − 3(-t+1) + 6(7t-2) − 11 = 0 \iff t= \frac{22}{43} \)
zatem prosta \(AB\) przecina płaszczyznę dla \( t= \frac{22}{43} \)
tymczasem dla \(t=0\) mamy punkt \(A\) ,dla \(t=1\) mamy punkt \(B\)
\(0< \frac{22}{43}<1 \)
zatem płaszczyzna przecina prostą \(AB\) wewnątrz odcinka \( \kre{AB } \)
cbdo

[radagast]

2)Dane są dwa punkty A(3, 5, 1) i B(2, −6, 3). W jakim stosunku punkt C
przecięcia prostej AB z płaszczyzną 2x − 3y + 6z − 1 = 0 dzieli odcinek AB?

Bardzo podobnie jak w zadaniu 1) :
\( \vec{AB}=[-1,-11,2] \)
prosta \(AB\) ma więc przedstawienie parametryczne:
\( \begin{cases} x=-t+3\\y=-11t+5\\z=2t+1\end{cases}\)
\(2(-t+3) − 3(-11t+5) +6(2t+1) − 11 = 0 \iff t= \frac{3}{43} \)
zatem prosta \(AB\) przecina płaszczyznę dla \( t= \frac{3}{43} \)
tymczasem dla \(t=0\) mamy punkt \(A\) ,dla \(t=1\) mamy punkt \(B\)
No to stosunek podziału wynosi: \( \frac{\frac{3}{43}}{1- \frac{3}{43}}= \frac{3}{40} \)

Uwaga: należy sprawdzić rachunki

[radagast]

3) Znaleźć równanie płaszczyzny przecinającej w punkcie P(2, 6, −4) prostą
prostopadłą do niej i przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

\( \vec{OP}=[2,6,-4] \) -wektor prostopadły do płaszczyzny
zatem płaszczyzna ma równanie \(2x+6y-4z+D=0\), a skoro przechodzi przez punkt \( \left(2,6,-4 \right) \) to
\(4+36-16+D=0\) czyli \(D= -24\)
\(2x+6y-4z-24=0\)

odp: płaszczyzna ma równanie \(x+3y-2z-12=0\)