Szeregi potęgowe

[MiedzianyDawid]

1.Wykaż jednostajną zbieżność szeregu: \( \sum_{ \infty }^{1} \frac{1}{n^x} \) dla \(x \in (2;+ \infty) \).
Wiem, że trzeba tutaj skorzystać z kryterium Weierstrassa, ale nie wiem czym to ograniczyć, aby wyszedł zbieżny.
2.Znaleźć sumę szeregu \( \sum_{ \infty }^{1} (n+1)x^n \).
Tutaj próbowałem rozwiązać, aż doszedłem do momentu gdzie \( \sum_{ \infty }^{1} x^n * x^1 -x = \int_{0}^{x}f(x)dx \) i nie wiem co dalej.

[MiedzianyDawid]

Drugie zadanie udało mi się rozwiązać, jednak dobrze robiłem
A co do pierwszego prosiłbym o pomoc, bo nadal nie mogę wpaść do czego można to ograniczyć.
\(| \frac{1}{n^x} | \le ??\)

[panb]

2.Znaleźć sumę szeregu \( \sum_{ \infty }^{1} (n+1)x^n \).
Tutaj próbowałem rozwiązać, aż doszedłem do momentu gdzie \( \sum_{ \infty }^{1} x^n * x^1 -x = \int_{0}^{x}f(x)dx \) i nie wiem co dalej.

\(\displaystyle \sum_{ n=1 }^{\infty} (n+1)x^n =2x+3x^2+4x^3+...=(x^2)'+(x^3)'+(x^4)'+\ldots =\sum_{ n=2 }^{\infty} (x^n)'= \left( \sum_{ n=2 }^{\infty} x^n\right)' \)
Równość zachodzi gdy |x|<1. Wtedy korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym \(a_1=x^2, q=1-x\).
Zatem \( \left( \sum_{ n=2 }^{\infty} x^n\right)' = \left( \frac{x^2}{1-x} \right)' = \frac{2x(1-x)+x^2}{(1-x)^2}= \frac{x(2-x)}{(1-x)^2} \)

Odpowiedź: \[\displaystyle \sum_{ n=1 }^{\infty} (n+1)x^n =\frac{x(2-x)}{(1-x)^2} \text{ dla } |x|<1\]

[panb]

1.Wykaż jednostajną zbieżność szeregu: \( \sum_{ \infty }^{1} \frac{1}{n^x} \) dla \(x \in (2;+ \infty) \).
Wiem, że trzeba tutaj skorzystać z kryterium Weierstrassa, ale nie wiem czym to ograniczyć, aby wyszedł zbieżny.

Tutaj działa ten myk z całką
\( \displaystyle \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{n^x} \le \int_{1}^{\infty} \frac{dt}{t^x}= \frac{t^{1-x}}{1-x}|_{t=1}^\infty= 0- \frac{1}{1-x}= \frac{1}{x-1} \) dla \(x\in (2,+\infty)\) jest to skończona wartość i dalej już wiesz co ...

[MiedzianyDawid]

Dzięki wielkie!
A co do zadania pierwszego te 1/x-1 trzeba ograniczyć?
Bo jeśli tak to z tego wynika rozbieżność.

[panb]

Nie, nie. 1/(x-1) jest ograniczeniem, bo x jest stałą (niefortunne oznaczenie!)

[MiedzianyDawid]

Aha, bo jest to zrobione z kryterium całkowego, dobrze rozumiem?