Granica funkcji z pierwiastkiem

[GoldenRC]

Cześć.
Mam zadanie:
oblicz granicę ciągu o wyrazie \( an = 2( \sqrt{n+100\sqrt{n}+5}-\sqrt{n-\sqrt{n}+200})\)
i chciałbym obliczyć to za pomocą potęg. Wychodzi mi jednak wynik 202 a nie 101. Czy da się to zrobić bazując właśnie na potęgach bez zabawy w układanie ułamków?

[eresh]

pokaż swój sposób, sprawdzimy

[GoldenRC]

\(lim 2((n+100n^{1/2} +5)^{1/2}-(n-n^{1/2}+200)^{1/2}) = .. = lim 2(100n^{1/4}+ \sqrt{5} - \sqrt{200}) = 202\)

[eresh]

\(lim 2((n+100n^{1/2} +5)^{1/2}-(n-n^{1/2}+200)^{1/2}) = .. = lim 2(100n^{1/4}+ \sqrt{5} - \sqrt{200}) = 202\)

nie wiem co to za przekształcenie wykonałeś w miejscu kropek, ale
\(\Lim_{n\to\infty}2(100n^{\frac{1}{4}}+\sqrt{5}-\sqrt{200})=\infty\)

[GoldenRC]

\(lim 2((n+100n^{1/2} +5)^{1/2}-(n-n^{1/2}+200)^{1/2}) = .. = lim 2(100n^{1/4}+ \sqrt{5} - \sqrt{200}) = 202\)

nie wiem co to za przekształcenie wykonałeś w miejscu kropek, ale
\(\Lim_{n\to\infty}2(100n^{\frac{1}{4}}+\sqrt{5}-\sqrt{200})=\infty\)

Poprawny wynik to 101 :/

[eresh]

\(lim 2((n+100n^{1/2} +5)^{1/2}-(n-n^{1/2}+200)^{1/2}) = .. = lim 2(100n^{1/4}+ \sqrt{5} - \sqrt{200}) = 202\)

nie wiem co to za przekształcenie wykonałeś w miejscu kropek, ale
\(\Lim_{n\to\infty}2(100n^{\frac{1}{4}}+\sqrt{5}-\sqrt{200})=\infty\)

Poprawny wynik to 101 :/

zgadza się, pokazuję Ci tylko gdzie masz błąd w swoim poście. Niestety nie wiem co się zadziało w miejscu kropek - pewnie to tam źle przekształcasz wyrażenie

[GoldenRC]

Znalazłem jeden błąd aczkolwiek dalej wychodzi mi granica w + niesk. Nie wiem co dalej robię źle. Da się tym sposobem osiągnąc dobry wynik?

[eresh]

Znalazłem jeden błąd aczkolwiek dalej wychodzi mi granica w + niesk. Nie wiem co dalej robię źle. Da się tym sposobem osiągnąc dobry wynik?

Też nie wiem co robisz źle, bo nie przedstawiłeś pełnego rozwiązania

[GoldenRC]

\(lim 2((n+100n^{1/2} +5)^{1/2}-(n-n^{1/2}+200)^{1/2}) = lim 2(n^{1/2}+10n^{1/2}+\sqrt{5}-n^{1/2}+n^{1/4}+ \sqrt{200}) = lim 2(11n^{1/4} + \sqrt{200}) \)

[eresh]

\(lim 2((n+100n^{1/2} +5)^{1/2}-(n-n^{1/2}+200)^{1/2}) = lim 2(n^{1/2}+10n^{1/2}+\sqrt{5}-n^{1/2}+n^{1/4}+ \sqrt{200}) = lim 2(11n^{1/4} + \sqrt{200}) \)

zaraz na początku masz błąd
\((a+b)^{\frac{1}{2}}\neq a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\)

[GoldenRC]

Czyli ogólnie ten sposób odpada w takim zadaniu?

[eresh]

Czyli ogólnie ten sposób odpada w takim zadaniu?

w każdym zadaniu

[GoldenRC]

Okej, dzięki bardzo

[panb]

Cześć.
Mam zadanie:
oblicz granicę ciągu o wyrazie \( an = 2( \sqrt{n+100\sqrt{n}+5}-\sqrt{n-\sqrt{n}+200})\)
i chciałbym obliczyć to za pomocą potęg. Wychodzi mi jednak wynik 202 a nie 101. Czy da się to zrobić bazując właśnie na potęgach bez zabawy w układanie ułamków?

W takich przypadkach (\(\infty - \infty\)) korzysta się z wzoru: \(a-b= \frac{a^2-b^2}{a+b} \) i zapisuje
\( an = 2( \sqrt{n+100\sqrt{n}+5}-\sqrt{n-\sqrt{n}+200})= \frac{2(n+100\sqrt n+5-n+\sqrt n-200}{\sqrt{n+100\sqrt{n}+5}+\sqrt{n-\sqrt{n}+200}} \) i dalej normalnie, dzielisz licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika i ... wychodzi 101.