rozwiąż równanie różniczkowe

[sopczi2001]

\(y''=(y')^3 lny\)

[panb]

\(y''=(y')^3 lny\)

Podstawiamy \(y'=u(y) \So y''=u'\cdot y'=u'\cdot u\). Wtedy równanie wyjściowe przyjmuje postać:
\(\displaystyle uu'=u^3\ln y \So \frac{u'}{u^2}=\ln y \iff \frac{du}{u^2}=\ln y {dy} \So - \frac{1}{u}=y\ln y -y-c \So u= \frac{1}{y-y\ln y +c} \)
Teraz wracamy z podstawieniem:
\(y'=u \So \frac{dy}{dx}= \frac{1}{y-y\ln y +c} \So (y-y\ln y +c)dy=dx \So cy+ \frac{3}{4}y^2- \frac{1}{2}y^2\ln y=x+C \)

Rozwiązaniem równania jest funkcja dana w postaci uwikłanej:
\[y^2(3-2\ln y)+Cy-4x+C=0\]

[sopczi2001]

dziękuję!
a jeszcze to mi coś nie wychodzi: \(yy''+(y')^2=2y'\)

[sopczi2001]

\(y''=(y')^3 lny\)

Podstawiamy \(y'=u(y) \So y''=u'\cdot y'=u'\cdot u\). Wtedy równanie wyjściowe przyjmuje postać:
\(\displaystyle uu'=u^3\ln y \So \frac{u'}{u^2}=\ln y \iff \frac{du}{u^2}=\ln y {dy} \So - \frac{1}{u}=y\ln y -y-c \So u= \frac{1}{y-y\ln y +c} \)
Teraz wracamy z podstawieniem:
\(y'=u \So \frac{dy}{dx}= \frac{1}{y-y\ln y +c} \So (y-y\ln y +c)dy=dx \So cy+ \frac{3}{4}y^2- \frac{1}{2}y^2\ln y=x+C \)

Rozwiązaniem równania jest funkcja dana w postaci uwikłanej:
\[y^2(3-2\ln y)+Cy-4x+C=0\]