Rozwiąż równanie - Trygonometria

[racibusz]

1) \(cosx - cos(x + \frac{\pi}{3}) = 0\)

2) \(sinx - cosx = 0\)

3) \(sinx + cosx = 1\)

Zbadaj dla jakich wartości parametru m istnieją rozwiązania równania:

1) \(cosx = m\)

2) \(sin(4x+1) = 2m+3\)

3) \(\sqrt{3}sinx+cosx = m\)

[eresh]

1) \(cosx - cos(x + \frac{\pi}{3}) = 0\)

\(\cos x-\cos (x+\frac{\pi}{3})=0\\
-2\sin\frac{x+x+\frac{\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-x-\frac{\pi}{3}}{2}=0\\
\sin(x+\frac{\pi}{6})=0\\
x+\frac{\pi}{6}=k\pi\\
x=-\frac{\pi}{6}+k\pi,\;k\in\mathbb{C}

\)

[eresh]

2) \(sinx - cosx = 0\)

\(\sin x-\cos x=0\\
\sin x-\sin(\frac{\pi}{2}-x)=0\\
2\cos\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\sin\frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2}=0\\
\sin(x-\frac{\pi}{4})=0\\
x-\frac{\pi}{4}=k\pi\\
x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \;k\in\mathbb{C}
\)

[eresh]

3) \(sinx + cosx = 1\)

\(\sin x+\cos x=1\\
\sin x+\sin (\frac{\pi}{2}-x)=1\\
2\sin\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\cos\frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2}=1\\
2\cdot \sin\frac{\pi}{4}\cos (x-\frac{\pi}{4})=1\\
\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi}{4})=1\\
\cos (x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;\vee\;\;x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=2k\pi\;k\in\mathbb{C}
\)

[eresh]

Zbadaj dla jakich wartości parametru m istnieją rozwiązania równania:

1) \(cosx = m\)

\(-1\leq \cos x\leq 1\\
-1\leq m\leq 1\\
m\in [-1,1]\)

[eresh]

Zbadaj dla jakich wartości parametru m istnieją rozwiązania równania:
2) \(sin(4x+1) = 2m+3\)

\(-1\leq \sin(4x+1)\leq 1\\
-1\leq 2m+3\leq 1\\
-4\leq 2m\leq -2\\
-2\leq m\leq -1\\
m\in [-2,-1]\)

[eresh]

Zbadaj dla jakich wartości parametru m istnieją rozwiązania równania:
3) \(\sqrt{3}sinx+cosx = m\)

\(\sqrt{3}\sin x+\cos x=m\\
\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}m\\
\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}m\\
\sin (x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}m\\
-1\leq\sin(x+\frac{\pi}{6})\leq 1\\
-1\leq \frac{1}{2}m\leq 1\\
-2\leq m\leq 2\\
m\in [-2,2]\)

[racibusz]

\(
\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}m\\
\)

Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd się to wzięło? Z góry dziękuje

[Jerry]

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}m\)

Ponieważ
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\) oraz \(\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\)
to

\(\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}m\)

Pozdrawiam