Walec

[maromaro]

Powierzchnia boczna walca jes prostokatem, ktorego przekatne maja dlugosc 12 dm i przecinaja sie pod katem 30 stopni. Oblicz objetosc tego walca. Rozwaz dwa przypadki.

[radagast]

Powierzchnia boczna walca jes prostokatem, ktorego przekatne maja dlugosc 12 dm i przecinaja sie pod katem 30 stopni. Oblicz objetosc tego walca. Rozwaz dwa przypadki.

Ale to nic ładnego nie wyjdzie
Z obrazkiem zawsze weselej:

ScreenHunter_337.jpg (7.86 KiB) Przejrzano 15068 razy

No i teraz dwa przypadki są takie:
1) \(\begin{cases}2 \pi r=12sin15\\h=12cos15 \end{cases}\)

\(\begin{cases}r= \frac{6sin15}{ \pi } \\h=12cos15 \end{cases}\)

\(V= \pi r^2h= \pi \left( \frac{6sin15}{ \pi }\right) ^2 \cdot 12cos15= \frac{216}{ \pi } sin15 \cdot 2sin15cos15=\frac{216}{ \pi } sin15 \cdot sin30=\frac{108}{ \pi } sin15\)
i ładniej nie będzie...

2) \(\begin{cases}2 \pi r=12cos15\\h=12sin15 \end{cases}\) a to juz sam (baaardzo podobnie)

[Galen]

Trzeba obliczyć boki prostokąta.
Może to być z tw.cosinusów:
\(a^2=6^2+6^2-2\cdot 6\cdot 6\cdot cos30^o=36+36-2\cdot 36\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=72-36\sqrt{3}\\
a=\sqrt{72-36\sqrt{3}}\)
\(b^2=6^2+6^2-2\cdot 6\cdot 6\cdot cos150^o=36+36+72\cdot cos30^o=72+36\sqrt{3}\\
b=\sqrt{72+36\sqrt{3}}\)
Teraz masz dwie opcje:
\(2\pi r=a\;\;\;\; i\;\;\;\;\; H=b\\
albo\\
2\pi r=b\;\;\;\;i\;\;\;\;H=a\)
Obliczasz r i podstawiasz do wzoru na objętość walca.
\(V=\pi r^2 H\)

[Galen]

Dobra,liczę dalej...
I
\(2\pi r=\sqrt{72-36\sqrt{3}}\\
r=\frac{\sqrt{72-36\sqrt{3}}}{2\pi}\\
H=\sqrt{72+36\sqrt{3}}\\
V=\pi r^2H=\pi\cdot (\frac{\sqrt{72-36\sqrt{3}}}{2\pi})^2\cdot \sqrt{72+36\sqrt{3}}= \frac{72-36 \sqrt{3} }{4\pi} \cdot \sqrt{72+36 \sqrt{3} }= \frac{18-9 \sqrt{3} }{\pi} \cdot 6 \sqrt{2+ \sqrt{3} }\)
II
\(2\pi r= \sqrt{72+36 \sqrt{3} }\\
r= \frac{ \sqrt{72+36 \sqrt{3} } }{2\pi}\\
H= \sqrt{72-36 \sqrt{3} } \\
V=\pi ( \frac{\sqrt{72+36\sqrt{3}}}{2\pi})^2\cdot \sqrt{72-36 \sqrt{3} }= \frac{72+ 36\sqrt{3} }{4\pi} \cdot \sqrt{72-36 \sqrt{3} }= \frac{18+9 \sqrt{3} }{\pi} \cdot 6 \sqrt{2- \sqrt{3} }\)
Nie powiem,żeby to był ładny wynik...
Można jeszcze pomnożyć licznik przez 6...

[radagast]

eee, to moje ładniejsze (a narzekałam , ze brzydkie)
dodam jeszcze ,że \(\frac{108}{ \pi } sin15=\frac{54}{ \pi } \sqrt{2- \sqrt{3} }\)Galena wynik pewnie też się da do tego doprowadzić ale trzeba popracować (ale nie bardzo).

[maromaro]

Dziekuje wam teraz już wszystko jasne

[blablabla888]

Hej czy ktoś wie czy wynik Galena jest poprany? bo w książce jest inny a sposób Galena jest dla mnie czytelniejszy

[szymekrosjan]

Nie jest, gdyż cosinus 60 stopni jest równy 1/2, wtedy ładnie się odejmuje i wychodzi wynik 6 jednego boku.

[Galen]

Wszystko jest ok.
Można wyniki doprowadzić do postaci Radagast...
\(I\\V=\frac{54\sqrt{2-\sqrt{3}}\sqrt{2-\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\pi}=\frac{54}{\pi}\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(II\\V=\frac{54}{\pi}\sqrt{2+\sqrt{3}}\\Rozpisz\\2+\sqrt{3}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

[viperinooo]

Galen wytłumaczyłbyś jak zrobiłeś te ostatnie przekształcenie żeby doprowadzić do wyniku końcowego?

[Sciurius]

\(\frac{72-36 \sqrt{3} }{4\pi } \sqrt{72+36 \sqrt{3} } = \frac{4( 18-9 \sqrt{3} )}{4\pi } \sqrt{36 (2+ \sqrt{3} )} = \frac{18-9 \sqrt{3} }{\pi }\cdot 6 \sqrt{2+ \sqrt{3} } = \frac{6\cdot 9(2- \sqrt{3})(\sqrt {2+ \sqrt{3}}) }{\pi }=\\=\frac{6\cdot 9(\sqrt {2- \sqrt{3}})(\sqrt {2- \sqrt{3}})(\sqrt {2+ \sqrt{3}}) }{\pi }\)
Oczywiście:
\((\sqrt {2- \sqrt{3}})(\sqrt {2+ \sqrt{3}})= \sqrt{(2- \sqrt{3})(2+ \sqrt{3})}= \sqrt{4-3} = 1 \)

Zatem:

\(\frac{6\cdot 9(\sqrt {2- \sqrt{3}})(\sqrt {2- \sqrt{3}})(\sqrt {2+ \sqrt{3}}) }{\pi } = \frac{6\cdot 9(\sqrt {2- \sqrt{3}})(1)) }{\pi } = \frac{54\sqrt {2- \sqrt{3}}}{\pi} \)

\(\)

[viperinooo]

Oczywiście:
\((\sqrt {2- \sqrt{3}})(\sqrt {2+ \sqrt{3}})= \sqrt{(2- \sqrt{3})(2+ \sqrt{3})}= \sqrt{4-3} = 1 \)

Właśnie tego mi brakowało bo nie wiedziałem skąd to się wzięło, dzięki bardzo

\(\)

[sum_matematyk]

Wg mnie zadanie jest bardzo proste. Z tego, co widzę, przyczyną pozornych trudności jest zakopywanie się w niepoitrzebne rachunki. Niech \(a\), \(b\) będą bokami prostokata, \(d\) przekątną. Wtedy z tw. cosinusów mamy \(a^2,b^2=2(\frac12d)^2(1\pm\cos30^{\circ})=\frac18d^2(4\pm2\sqrt3)=\frac18d^2(\sqrt3\pm1)^2\). Stąd \(a,b=\frac{d}{2\sqrt2}(\sqrt3\pm1)=3\sqrt2(\sqrt3\pm1)\). Dalej już łatwo. Tak więc podsumowaując, polecam przekszałcać bez liczb w imię zasady: nie zakopiesz się w rachunki, jeśli nie będziesz ich robić

[Jerry]

W imię zasad, nie stosujemy zapisów:

\(a^2,b^2=2(\frac12d)^2(1\pm\cos30^{\circ})\)

i piszemy po polsku!

Miłego dnia

[sum_matematyk]

Myślałem, że mamy do czynienia z ludźmi ogarniętymi i możemy stosować skróty myślowe, aby lepiej skupić się na meritum. Uważam, że taki zapis lepiej podkreśla, że długości boków w tym przypadku są wielkościami sprzężonymi i nie ma sensu dwa razy (z dokładnością do znaku) pisać tego samego. [ciach] BTW, jaką regułę języka polskiego naruszyłem?