dowód, iloczyn liczb pierwszych

[rubbishbin_]

Uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej n>3 liczba
\({n}^{3} + 5{n}^{2} - 2n-24\)
jest iloczynem co najmniej 4 liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

Proszę o pomoc, zupełnie nie wiem jak to ugryźć, próbowałam rozłożyć na czynniki, ale nic mi to nie dało..

[Sciurius]

Znajdź miejsca zerowe \(n^3+5n^2-2n-24\) i napisz ten wielomian w postaci iloczynowej stąd droga do rozwiązania jest prosta, jeśli dalej będziesz miała problem to pisz to wstawie całe rozwiązanie

[rubbishbin_]

Znajdź miejsca zerowe \(n^3+5n^2-2n-24\) i napisz ten wielomian w postaci iloczynowej stąd droga do rozwiązania jest prosta, jeśli dalej będziesz miała problem to pisz to wstawie całe rozwiązanie

(n-2)(n+3)(n+4)
nie mam pojęcia co dalej

[Sciurius]

Ok to tak:
Założenie: \(n >3\) \(n\in \zz\)
Teza: \(n^3+5n^2−2n−24 \) jest iloczynem co najmniej 4 liczb pierwszych

\(n^3+5n^2−2n−24 = (n-2)(n+3)(n+4)\)

Zauważmy że \(n+3\) i \(n+4\) są różnej parzystości to oznacza że:
\(2|n+3\) albo \(2|n+4\)

1) \(2|n+3 \to (n-2)(n+3)(n+4) = 2(n-2)( \frac{n+3}{2})(n+4)\) gdzie: \((n-2),( \frac{n+3}{2}),(n+4)\in \zz\)
Ponieważ każda z liczb \((n-2),( \frac{n+3}{2}),(n+4)\) jest nie mniejsza niż dwa istnieją takie liczby pierwsze \(p,q,r\) że:
\( \begin{cases}
p|(n-2)
q|( \frac{n+3}{2})
r|(n+4)
\end{cases} \)
Zatem: \(2(n-2)( \frac{n+3}{2})(n+4)=2pqr*k\) gdzie \(k\in \zz\)
Analogicznie
2) \(2|n+4 \to (n-2)(n+3)(n+4) = 2(n-2)( \frac{n+4}{2})(n+3)\) gdzie: \((n-2),( \frac{n+4}{2}),(n+3)\in \zz\)
Ponieważ każda z liczb \((n-2),( \frac{n+4}{2}),(n+3)\) jest nie mniejsza niż dwa istnieją takie liczby pierwsze \(p,q,r\) że:
\( \begin{cases}
p|(n-2)
q|( \frac{n+4}{2})
r|(n+3)
\end{cases} \)
Zatem: \(2(n-2)( \frac{n+3}{2})(n+4)=2pqr*k\) gdzie \(k\in \zz\)

Z powyższego wynika że:
\(n^3+5n^2−2n−24 = 2pqr*k\) gdzie \(2,p,q,r\) są liczbami pierwszymi a \(k\in \zz\)

q.e.d.