Wyznaczyc liczbe rozkladow 25 identycznych kul do siedmiu rozroznialnych szufladek,jezli
pierwsze dwie szufladki moga zawierac co najwyzej po osiem kul,a pozostale nie moga byc puste.
Kombinatoryka rozkład kulek do szufladek
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 49
- Rejestracja: 05 maja 2020, 16:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9 razy
- Płeć:
Re: Kombinatoryka rozkład kulek do szufladek
jako że kule są identyczne możesz to rozpatrywać jako liczbę możliwości wyboru takich liczb całkowitych nieujemnych \(a_1 - \color{red}{a_8}\) że:
\(a_1 +a_2 +...+\color{red}{a_8} =25\)
\(a_1 ,a_2 \le 8\)
\(a_3 , a_4 , ... , \color{red}{a_8} > 0\)
[edited by Jerry] szuflad miało być siedem
\(a_1 +a_2 +...+\color{red}{a_8} =25\)
\(a_1 ,a_2 \le 8\)
\(a_3 , a_4 , ... , \color{red}{a_8} > 0\)
[edited by Jerry] szuflad miało być siedem
Pozdrawiam
Sciurius
Sciurius
- Jerry
- Expert
- Posty: 3530
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: Kombinatoryka rozkład kulek do szufladek
Liczba rozwiązań, w liczbach całkowitych nieujemnych, równania
\(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_7=20\),
gdzie
\(a_1=x_1;\ a_2=x_2;\ a_3=x_3+1;\cdots;\ a_7=x_7+1\)
jest równa
\({21+6-1\choose6}\)
i to nie jest problem. Problemem jest
i tu coś zaproponuj... Reguła w/w ?
Pozdrawiam
[edited] poprawka, zasugerowałeś mnie, szuflad miało być siedem!!!
-
- Rozkręcam się
- Posty: 49
- Rejestracja: 05 maja 2020, 16:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9 razy
- Płeć:
Re: Kombinatoryka rozkład kulek do szufladek
Policzyłbym ile jest rozwiązań tego równania dla \(a_1 > 8 lub a_2 > 8\) będzie to żmudne wypisywanie przypadków w stylu:
\(x_1 = k \to x_2 + x_3 +x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 20 - k\) oczywiście \(k >8 \) i \(k \in \zz\)
liczba rozwiązań powyższego równania w calkowityc jest równa \( {6+20-k-1 \choose 5} \) zatem liczba wszystkich rozwiązań równania które nas nie interesują dlatego że \(a_1 > 8\) jest równa
\( \sum_{i=9}^{20} {25-i \choose 5} \)
Przypadek dla \(a_2 > 8\) jest analogiczny i też odpada nam
\( \sum_{i=9}^{20} {25-i \choose 5} \)
Należy zauważyć że przypadki gdy \(a_1 > 8\) i \(a_2 > 8\) liczymy podwójnie w ten sposób więc wypadałoby jeden spowrotem dodać
Więc robimy analogicznie dla sumy \(x_1 + x_2 = l\) oczywiście \(l >17 \) i \(l \in \zz\)
równanie \(x_3 + x_4 +x_5 + x_6 +x_7 = 20-l\) ma \( {5+20-l-1 \choose 4} \) rozwiązań
z tym że niektóre sumy można złożyć na kilka sposobów:
\(x_1 + x_2 = 18 \) 1 sposób para (9,9)
\(x_1 + x_2 = 19 \) 2 sposób pary (10,9),(9,10)
\(x_1 + x_2 = 20 \) 3 sposób pary (11,9),(10,10),(9,11)
Zatem dla \(a_1 > 8\) i \(a_2 > 8\) mamy:
\( \sum_{i=18}^{20} (i-17){24-l \choose 4} \) sposobów na rozwiązanie równania ostatecznie wychodzi więc:
\({26 \choose 6} -2* \sum_{i=9}^{20} {25-i \choose 5} \) +\( \sum_{i=18}^{20} (i-17){24-i \choose 4} = 230230-2*12376+28=205506 \)
Mogłem się gdzieś pomylić więc czytajcie uważnie ale wydaje mi się że metoda jest ok
PS napisałem programik który przechodzi przez 7 pętli i to sprawdza i też wyszło 205 506 więc chyba jest dobrze
PS2 sorry za 8 szuflad nie wiem jak to przeczytałem :/
\(x_1 = k \to x_2 + x_3 +x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 20 - k\) oczywiście \(k >8 \) i \(k \in \zz\)
liczba rozwiązań powyższego równania w calkowityc jest równa \( {6+20-k-1 \choose 5} \) zatem liczba wszystkich rozwiązań równania które nas nie interesują dlatego że \(a_1 > 8\) jest równa
\( \sum_{i=9}^{20} {25-i \choose 5} \)
Przypadek dla \(a_2 > 8\) jest analogiczny i też odpada nam
\( \sum_{i=9}^{20} {25-i \choose 5} \)
Należy zauważyć że przypadki gdy \(a_1 > 8\) i \(a_2 > 8\) liczymy podwójnie w ten sposób więc wypadałoby jeden spowrotem dodać
Więc robimy analogicznie dla sumy \(x_1 + x_2 = l\) oczywiście \(l >17 \) i \(l \in \zz\)
równanie \(x_3 + x_4 +x_5 + x_6 +x_7 = 20-l\) ma \( {5+20-l-1 \choose 4} \) rozwiązań
z tym że niektóre sumy można złożyć na kilka sposobów:
\(x_1 + x_2 = 18 \) 1 sposób para (9,9)
\(x_1 + x_2 = 19 \) 2 sposób pary (10,9),(9,10)
\(x_1 + x_2 = 20 \) 3 sposób pary (11,9),(10,10),(9,11)
Zatem dla \(a_1 > 8\) i \(a_2 > 8\) mamy:
\( \sum_{i=18}^{20} (i-17){24-l \choose 4} \) sposobów na rozwiązanie równania ostatecznie wychodzi więc:
\({26 \choose 6} -2* \sum_{i=9}^{20} {25-i \choose 5} \) +\( \sum_{i=18}^{20} (i-17){24-i \choose 4} = 230230-2*12376+28=205506 \)
Mogłem się gdzieś pomylić więc czytajcie uważnie ale wydaje mi się że metoda jest ok
PS napisałem programik który przechodzi przez 7 pętli i to sprawdza i też wyszło 205 506 więc chyba jest dobrze
PS2 sorry za 8 szuflad nie wiem jak to przeczytałem :/
Pozdrawiam
Sciurius
Sciurius
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Kombinatoryka rozkład kulek do szufladek
A może:
\({25-1 \choose 7-1} -2 \sum_{i=9}^{19} {25-i -1\choose 6-1} + \sum_{i=1}^{3} i{7-i \choose 5-1} = \)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Kombinatoryka rozkład kulek do szufladek
(Wszystkie dodatnie całkowitoliczbowe rozwiązania równania \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=25\))
-(rozwiązania w których \(x_1\) lub \(x_2 \)przyjmują wartości większe od 8 ) +
(rozwiązania w których \(x_1\) i \(x_2 \)przyjmują wartości większe od 8 )
-(rozwiązania w których \(x_1\) lub \(x_2 \)przyjmują wartości większe od 8 ) +
(rozwiązania w których \(x_1\) i \(x_2 \)przyjmują wartości większe od 8 )