Najmniejszy wyraz ciągu i nieskończony ciąg geometryczny

[Znany]

1. Wyznacz najmniejszy wyraz ciągu o wzorze: \(a_n = \frac{\frac{1}{5}n^2+10}{n+1}\)
2. Wyznacz nieskończony ciąg geometryczny, w którym suma wszystkich wyrazów o indeksach
nieparzystych stanowi \(\frac{3}{4} \) sumy wszystkich wyrazów, a wyraz pierwszy jest o 24 większy od
wyrazu trzeciego.

[Jerry]

1. Wyznacz najmniejszy wyraz ciągu o wzorze: \(a_n = \frac{\frac{1}{5}n^2+10}{n+1}\)

Funkcja \(y=f(x)={x^2+50\over 5x+5}\wedge x\in\rr_+\) osiąga wartość najmniejszą dla \(x=\sqrt{51}-1\).
Pozostaje Ci sprawdzić czy \(a_6\) czy \(a_7\) jest odpowiedzią

Pozdrawiam

[Jerry]

2. Wyznacz nieskończony ciąg geometryczny, w którym suma wszystkich wyrazów o indeksach
nieparzystych stanowi \(\frac{3}{4} \) sumy wszystkich wyrazów, ...

\({a_1\over{1-q^2}}={3\over4}\cdot{a_1\over{1-q}}\wedge a_1\ne0\wedge |q|<1\)
oznacza
\(q={1\over3}\)

... a wyraz pierwszy jest o 24 większy od wyrazu trzeciego.

\(a_1=a_1\cdot\left({1\over3}\right)^2+24\)
oznacza
\(a_1=27\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia

[Galen]

2)
Kolejne wyrazy \(a;aq;aq^2;aq^3;aq^4;aq^5;aq^6;...ich \;suma\; \sum_{}^{}= \frac{a}{1-q}\)
Wyrazy o indeksach nieparzystych to ciąg \(a;aq^2;aq^4;aq^6;...ich\; suma\; \sum_{}^{}=\frac{a} {1-q^2}\)
\(\frac{a}{1-q^2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{a}{1-q}\;\;\;\;\;q\in (-1;1)\\\frac{1}{1+q}=\frac{3}{4}\\3q+3=4\\q=\frac{1}{3}\\a-24=aq^2\\a-24=a\cdot(\frac{1}{3})^2\\\frac{8}{9}a=24\\a=27\)
Ciąg geometryczny:
\(27;9;3;1;\frac{1}{3};\frac{1}{9}...\)
\(a_1=27\\q=\frac{1}{3}\)