Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodneJutro mam kolokwium z kilku tematów, a na koniec do powtórzenia zostawiłem sobie równania różniczkowe i mam problem z jednym przykładem:
\(y'-y=x+1\)
Poprawna odpowiedż to:
\(y=Ce^x-x-2 \) gdzie C należy do rzeczywistych
Mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu?
\(y'-y=0 \iff y'=y \iff \frac{dy}{dx}=y \iff \frac{dy}{y}=dx \So \int \frac{dy}{y}=\int {dx} \So \ln|y|=x+c \So y=ce^x\)
Uzmienniamy stałą c, tzn. przyjmujemy, że \(c=c(x)\) i wstawiamy znaleziony \(y=c(x)e^x\) do wyjściowego równania.
\(\left[c(x)e^x \right]'-c(x)e^x=x+1\\
c'(x)e^x+c(x)e^x-c(x)e^x=x+1 \So c'(x)= \frac{x+1}{e^x}=(x+1)e^{-x}\\
c(x)=\int(x+1)e^{-x}{dx}= \begin{vmatrix}\text{przez części}\\
u=x+1&u'=1\\v'=e^{-x}&v=-e^{-x} \end{vmatrix} =-(x+1)e^{-x}+\int e^{-x}{dx}=e^{-x}(-x-1)-e^{-x}+C\\c(x)=e^{-x}(-x-2)+C\)
Wstawiamy to do wzoru na y:
\[y=c(x)e^x= \left[e^{-x}(-x-2)+C \right]e^x =-x-2+Ce^x=Ce^x-x-2\]
THE END
