macierz obrotu

[suinnmoo]

Zadanie 1: Obliczyć macierz, która obraca płaszczyznę \(R^2\) o kąt \( \frac{ \pi }{4} \) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół punktu \((3,2)\) przy użyciu jednorodnych współrzędnych.

Znalazłem takie wzory:
\( \begin{bmatrix} cos \partial &-sin \partial \\sin \partial &cos \partial \end{bmatrix}\)
dla macierzy, która obraca się w przeciwnym kierunku niż wskazówki zegara i przy zwykłym podstawieniu kąta i obliczeniu macierzy chodzi wynik \(1\). Jeśli o to chodziło.
Nie wiem jak użyć tego punktu.

Zadanie 2: Obliczyć macierz, która odzwierciedla płaszczyznę \(R^2\) wzdłuż linii \(y = -4\), stosując jednorodne współrzędne.

Taki ma wyjść wynik:
\( \begin{bmatrix} 1&0&0 \\0&-1&-8 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}\)
i jakby ktoś mi mógł wytłumaczyć jak do tego dojść, bo kompletnie nie rozumiem skryptu, który przeczytałem.

[panb]

Zadanie 1: Obliczyć macierz, która obraca płaszczyznę \(R^2\) o kąt \( \frac{ \pi }{4} \) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół punktu \((3,2)\) przy użyciu jednorodnych współrzędnych.

Znalazłem takie wzory:
\( \begin{bmatrix} cos \partial &-sin \partial \\sin \partial &cos \partial \end{bmatrix}\)
dla macierzy, która obraca się w przeciwnym kierunku niż wskazówki zegara i przy zwykłym podstawieniu kąta i obliczeniu macierzy chodzi wynik \(1\). Jeśli o to chodziło.
Nie wiem jak użyć tego punktu.

Zmienię nazwę kąta na \(\alpha\), żeby było wygodniej zapisać.
Wtedy wzór na współrzędne punktu powstałego przez obrót punktu (x,y) o kąt \(\alpha\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół punktu (0,0) mają postać:
\[ \]

Ale my mamy obrót wokół punktu (3,2).
Wobec tego przesuńmy na chwilę układ współrzędnych do tego punktu. Wtedy nasz punkt (x,y) będzie miał współrzędne (x-3,y-2),
obróćmy go zgodnie z wzorami powyżej. Otrzymamy punkt o współrzędnych
\[\begin{cases}x'=(x-3)\cos\alpha-(y-2)\sin\alpha\\ y'=(x-3)\sin\alpha+(y-2)\cos\alpha \end{cases}\]
A teraz odsuńmy układ współrzędnych z powrotem na swoje miejsce. Współrzędne \(x'\) i \(y'\) się zmienią i ostatecznie otrzymamy:
\[ \begin{cases}x''= (x-3)\cos\alpha-(y-2)\sin\alpha+3\\ y''=(x-3)\sin\alpha+(y-2)\cos\alpha+2\end{cases} \]

Wstaw sobie \(\alpha=45^\circ\) i voilà.

[suinnmoo]

Wstaw sobie \(\alpha=45^\circ\) i voilà.

Czyli wychodzi macierz
\( \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2} }{2} && -\frac{\sqrt{2} }{2} \\ \frac{\sqrt{2} }{2} && \frac{\sqrt{2} }{2} \end{bmatrix}\)

Czyli to obliczyć:
\( \begin{bmatrix} 1 && 0 && 3 \\ 0 && 1 && 2 \\ 0 && 0 && 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2} }{2} && -\frac{\sqrt{2} }{2} && 0 \\ \frac{\sqrt{2} }{2} && \frac{\sqrt{2} }{2} && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 && 0 && -3 \\ 0 && 1 && -2 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix} \)?

[panb]

Nie wiem czemu używasz macierzy 3x3. Przecież to jest \(\rr^2\)

To raczej będzie tak:
jeśli obrazem punktu \(P=(x,y)\) jest punkt \(P'=(x',y')\), to
\[ \begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha \\\sin\alpha&\cos\alpha\end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}3\\2 \end{bmatrix} \right)+ \begin{bmatrix}3\\2 \end{bmatrix} \]
gdzie w tym zadaniu \(\alpha =45^\circ\)

[suinnmoo]

Teraz rozumiem, dziękuję.

[panb]

Jeśli wstawisz za x i y współrzędne jakiegoś punktu, to po wykonaniu tych operacji otrzymasz współrzędne punktu obróconego o kąt \(\alpha\) wokół punktu (3,2).

Ilustracja dla P=(0,0)