Znajdź ekstrema globalne podanych funkcji

[LuckyLuck]

Znajdź ekstrema globalne podanych funkcji na wskazanych obszarach domkniętych:
a) \(z=x^2+2xy-4x+8y\), \(0 \le x \le 1\), \( 0 \le y \le 2\)
b) \(z=x^2y\), \(x^2+y^2 \le 1\)

[LuckyLuck]

Bardzo proszę o podpowiedz jak to zrobić

[panb]

Znajdź ekstrema globalne podanych funkcji na wskazanych obszarach domkniętych:
a) \(z=x^2+2xy-4x+8y\), \(0 \le x \le 1\), \( 0 \le y \le 2\)

Takie zadania rozwiązuje się w dwóch etapach.

1. Szukanie ekstremum wewnątrz obszaru
2. szukanie wartości naj- na brzegu obszaru

W odpowiedzi podaje się najmniejszą z wartości jako minimum, a największą jako maksimum.

a) \(z=x^2+2xy-4x+8y\), \(0 \le x \le 1\), \( 0 \le y \le 2\)

AD I.

• \( \frac{ \partial z}{ \partial x}=2x+2y-4,\,\,\, \frac{ \partial z}{ \partial y}=2x+8 \So \begin{cases} \frac{ \partial z}{ \partial x}=0\\\frac{ \partial z}{ \partial y}=0\end{cases} \iff x=-4,\,\,y=6\)
  Punkt (-4,6) nie leży w zadanym obszarze, więc nie interesuje nas czy i jakie tam jest ekstremum.

AD II.
Trzeba rozważyc 4 "kawałki", z których składa się brzeg obszaru

1. \(x=0,\,\, 0 \le y \le 2\)
   Wtedy \( z=8y, \,\,\, 0 \le y \le 2 \So z_{min}=0, \,\,\, z_{max}=8 \cdot 2=16\)
2. \(x=1, \,\, 0 \le y \le 2\)
   Wtedy \(z=1+2y-4+8y=10y-3, \,\, 0 \le y \le 2 \So z_{min}=-3,\,\, z_{max}=17\)
3. \(y=0, \,\, 0 \le x \le 1\)
   Wtedy \(z=x^2-4x,\,\,\, 0 \le x \le 1 \So z_{min}=z(1)=-1,\,\, z_{max}=z(0)=0\)
4. \(y=2, 0 \le x \le 1\)
   Wtedy \(z=x^2+4x-4x+16=x^2+16,\,\, 0 \le x \le 1\So z_{min}=z(0)=16,\,\,\, z_{max}=z(1)=17\)
   
   na brzegach obszaru \( z_{min}=\min\{-3, -1, 0, 16, 17\}=-3, \quad z_{max}=\max\{-3, -1, 0, 16, 17\}=17\)

Odpowiedź: Dla \(0 \le x \le 1, \,\, 0 \le y \le 2\) funkcja \(z=x^2+2xy-4x+8y\) przyjmuje wartość najmniejszą \(z_{min}=-3 \) oraz wartość największą \(z_{max}=17\).