Objętość prostopadłościanu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zwierzaczysko
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 19 mar 2020, 20:27
Podziękowania: 24 razy
Płeć:

Objętość prostopadłościanu

Post autor: zwierzaczysko »

Spośród prostopadłościanów, w których p jest długością przekątnej jednej ze ścian, d - długością przekątnej prostopadłościanu, wybierz ten, który ma największą objętość. Podaj długość krawędzi tego prostopadłościanu oraz oblicz jego objętość.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Objętość prostopadłościanu

Post autor: eresh »

a,b,H - krawędzie prostopadłościanu
\(b^2+H^2=p^2\\
a^2+b^2+H^2=d^2\\
a^2+p^2=d^2\\
a=\sqrt{d^2-p^2}\)


\(b^2+H^2=p^2\\
b=\sqrt{p^2-H^2}\\
H\in (0,p)\)


\(V=abH\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2-H^2}\cdot H\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)

przyjmijmy \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
znajdź maksimum tej funkcji dla \(H\in (0,p)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
zwierzaczysko
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 19 mar 2020, 20:27
Podziękowania: 24 razy
Płeć:

Re: Objętość prostopadłościanu

Post autor: zwierzaczysko »

eresh pisze: 15 kwie 2020, 19:13 a,b,H - krawędzie prostopadłościanu
\(b^2+H^2=p^2\\
a^2+b^2+H^2=d^2\\
a^2+p^2=d^2\\
a=\sqrt{d^2-p^2}\)


\(b^2+H^2=p^2\\
b=\sqrt{p^2-H^2}\\
H\in (0,p)\)


\(V=abH\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2-H^2}\cdot H\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)

przyjmijmy \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
znajdź maksimum tej funkcji dla \(H\in (0,p)\)
Dlaczego przyjmujemy, że \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Objętość prostopadłościanu

Post autor: Jerry »

zwierzaczysko pisze: 15 kwie 2020, 21:36 Dlaczego przyjmujemy, że \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
We wzorze:
\(V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)
czynnik
\(\sqrt{d^2-p^2}\)
jest wartością stałą, a wartość pierwiastka jest największa dla największej wartości podpierwiastkowej.
Zatem wystarczy zoptymalizować
\(f(H)=p^2H^2-H^4\)

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ