oblicz granice ciągu

[diablik]

Proszę o pomoc z tym zadaniem
a)\(a_n=\frac{1+3+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}\)

b)\(a_n=\frac{ 1+4+7+...+(3n-2)}{(3n-1)(2n+1)}\)

[eresh]

\(a_n=\frac{1+3+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}\)

licznik:
\(a_1=1\\
a_{n}=2n-1\\
S=\frac{1+2n-1}{2}n=n^2\)

mianownik:
\(a_1=2\\
a_n=2n\\
S=\frac{2+2n}{2}n=n(1+n)\)

\(\Lim_{n\to\infty}a_n=\Lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1\)

[eresh]

b)\(a_n=\frac{ 1+4+7+...+(3n-2)}{(3n-1)(2n+1)}\)

licznik:
\(a_1=1\\
a_n=3n-2\\
S=\frac{1+3n-2}{2}\cdot n=\frac{3n^2-n}{2}\)

\(\Lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n}{2(3n-1)(2n+1)}=\Lim_{n\to\infty}\frac{3-\frac{1}{n}}{2(3-\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}=\frac{3}{2\cdot 3\cdot 2}=\frac{1}{4}\)

[diablik]

bardzo dziękuje i jakby była możliwość prosiłabym o jeszcze te 2 przykłady
c) \(a_n=\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+...+\frac{n}{n^2}\)
d) \(a_n=\frac{n}{1-3n^3}+\frac{2n}{1-3n^3}+\frac{3n}{1-3n^3}+...+\frac{n^2}{1-3n^3}\)

[eresh]

\(a_n=\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+...+\frac{n}{n^2}\\
a_n=\frac{1+2+3+...+n}{n^2}\\
a_n=\frac{\frac{1+n}{2}\cdot n}{n^2}\\
a_n=\frac{n(1+n)}{2n^2}\\
a_n=\frac{1+n}{2n}\\
\Lim_{n\to\infty}\frac{1+n}{2n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}+1}{2}=\frac{1}{2}\)

[eresh]

d)
\(a_n=\frac{n}{1-3n^3}+\frac{2n}{1-3n^3}+\frac{3n}{1-3n^3}+...+\frac{n^2}{1-3n^3}\\
a_n=\frac{n(1+2+3+...+n)}{1-3n^3}\\
a_n=\frac{n\cdot\frac{1+n}{2}\cdot n}{1-3n^3}\\
a_n=\frac{n^2(1+n)}{2(1-3n^3)}\\
a_n=\frac{n^3+n^2}{2(1-3n^3)}
\Lim_{n\to\infty}a_n=\Lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2(\frac{1}{n^3}-3)}=\frac{1}{2\cdot (-3)}=-\frac{1}{6}\)