Jak obliczyć taką całkę:
\( \int \sqrt{sin^2(2t)}dt \)
Mogę zapisać to tak:
\(((sin2t)^2)^ \frac{1}{2} = sin2t \)?
Całka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Całka
Ponieważ \( \sqrt{ \sin ^2(2t)}= \begin{cases} \sin(2t)&dla & t\in [k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi ]\\ -\sin(2t) &dla& t\in [\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi +k\pi]\end{cases} \)
FAKT: \[\int \sin2tdt=- \frac{1}{2}\cos2t +C \]
Zatem \(\int \sqrt{ \sin ^2(2t)} dt= \begin{cases} - \frac{1}{2}\cos2t +C & dla & t\in (k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi )\\ \frac{1}{2}\cos2t +C & dla & t\in (\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi +k\pi)\end{cases} \)
Przedziały są otwarte ponieważ:
\(\qquad - \frac{1}{2}\cos2\left(\frac{\pi}{2}+k\pi \right)=-\frac{1}{2}\cos(\pi+2k\pi)=-\frac{1}{2}\cos\pi=\frac{1}{2}\)
natomiast
\(\qquad \frac{1}{2}\cos2\left(\frac{\pi}{2}+k\pi \right)=\frac{1}{2}\cos(\pi+2k\pi)=\frac{1}{2}\cos\pi=-\frac{1}{2}\).
Podobnie sprawy się mają z drugimi końcami przedziałów.
Teraz przyjrzyjmy się tym dwóm postaciom pochodnej:
Niech \(\varepsilon\in\left(0, \frac{ \pi }{2} \right)\). Wtedy
\(t\in (k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi ) \iff t=k\pi +\varepsilon \So F(t)= -\frac{1}{2}\cos2t=-\frac{1}{2}(2\varepsilon+2k\pi)=-\frac{1}{2}\cos2\varepsilon\\
t\in (\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi +k\pi) \iff t=\frac{\pi}{2}+k\pi+\varepsilon \So F(t)=\frac{1}{2}\cos2t=\frac{1}{2}\cos(2\varepsilon+\pi+2k\pi)=\frac{1}{2}\cos(2\varepsilon+\pi)=-\frac{1}{2}\cos2\varepsilon\)
Można zatem zapisać
\[\int \sqrt{ \sin ^2(2t)}= \frac{(-1)^{k+1}}{2}\cos(2t)+C ,\,\, t\in \left( \frac{k\pi}{2} ,\frac{(k+1)\pi}{2}\right) ,\,\, k\in \zz\]
FAKT: \[\int \sin2tdt=- \frac{1}{2}\cos2t +C \]
Zatem \(\int \sqrt{ \sin ^2(2t)} dt= \begin{cases} - \frac{1}{2}\cos2t +C & dla & t\in (k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi )\\ \frac{1}{2}\cos2t +C & dla & t\in (\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi +k\pi)\end{cases} \)
Przedziały są otwarte ponieważ:
\(\qquad - \frac{1}{2}\cos2\left(\frac{\pi}{2}+k\pi \right)=-\frac{1}{2}\cos(\pi+2k\pi)=-\frac{1}{2}\cos\pi=\frac{1}{2}\)
natomiast
\(\qquad \frac{1}{2}\cos2\left(\frac{\pi}{2}+k\pi \right)=\frac{1}{2}\cos(\pi+2k\pi)=\frac{1}{2}\cos\pi=-\frac{1}{2}\).
Podobnie sprawy się mają z drugimi końcami przedziałów.
Teraz przyjrzyjmy się tym dwóm postaciom pochodnej:
Niech \(\varepsilon\in\left(0, \frac{ \pi }{2} \right)\). Wtedy
\(t\in (k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi ) \iff t=k\pi +\varepsilon \So F(t)= -\frac{1}{2}\cos2t=-\frac{1}{2}(2\varepsilon+2k\pi)=-\frac{1}{2}\cos2\varepsilon\\
t\in (\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi +k\pi) \iff t=\frac{\pi}{2}+k\pi+\varepsilon \So F(t)=\frac{1}{2}\cos2t=\frac{1}{2}\cos(2\varepsilon+\pi+2k\pi)=\frac{1}{2}\cos(2\varepsilon+\pi)=-\frac{1}{2}\cos2\varepsilon\)
Można zatem zapisać
\[\int \sqrt{ \sin ^2(2t)}= \frac{(-1)^{k+1}}{2}\cos(2t)+C ,\,\, t\in \left( \frac{k\pi}{2} ,\frac{(k+1)\pi}{2}\right) ,\,\, k\in \zz\]