Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierowność
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)}\)
I tak widziałem tu już rozwiązanie tego lecz tam jest kwadrat sumy trzech liczb tego jeszcze nie było więc nie wiem czy nauczyciel nie będzie miał jakiś wątpliwości, czy da to się rozwiązać jeszcze jakoś inaczej?
Wykaż
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Wykaż
\(Pawm32 pisze: ↑01 kwie 2020, 19:15 Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierowność
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)}\)
I tak widziałem tu już rozwiązanie tego lecz tam jest kwadrat sumy trzech liczb tego jeszcze nie było więc nie wiem czy nauczyciel nie będzie miał jakiś wątpliwości, czy da to się rozwiązać jeszcze jakoś inaczej?
(a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\\
(a+b-1)^2\geq 0
\)
pewnie chodzi o ten moment
\((a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\)
podstaw \(x=a+b\)
\(x^2-2x+1+3\geq 0\\
(x-1)^2+3\geq 0\)
i wróć do a i b
\((a+b-1)^2+3\ge 0\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- Scino
- Rozkręcam się
- Posty: 62
- Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
- Podziękowania: 5 razy
- Otrzymane podziękowania: 15 razy
- Płeć:
Re: Wykaż
Wykaż, że dla dowolnego parametru \(a\), funkcja \(f(b) = a^2+b^2+4 - 2a-2b+2ab \) jest nieujemna.
\(f'(b)=2b-2+2a=0 \iff b=1-a\)
Funkcja \(f(b)\) jest funkcją kwadratową o dodatnim współczynniku kierunkowym zatem \(f(b)_{min}=f(1-a)=3 \geq 0\)
Lub bez pochodnej - wystarczy policzyć deltę z parametrem \(a\)
\(\Delta = (2a-2)^2-4(a^2+4-2a)=4a^2-8a+4-4a^2-16+8a=-12 < 0\) zatem funkcja \(f(b)\) w całości znajduje się powyżej osi \(OX\).
\(f'(b)=2b-2+2a=0 \iff b=1-a\)
Funkcja \(f(b)\) jest funkcją kwadratową o dodatnim współczynniku kierunkowym zatem \(f(b)_{min}=f(1-a)=3 \geq 0\)
Lub bez pochodnej - wystarczy policzyć deltę z parametrem \(a\)
\(\Delta = (2a-2)^2-4(a^2+4-2a)=4a^2-8a+4-4a^2-16+8a=-12 < 0\) zatem funkcja \(f(b)\) w całości znajduje się powyżej osi \(OX\).