Ciąg geometryczny i funkcja wykładnicza

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1218
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1289 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Ciąg geometryczny i funkcja wykładnicza

Post autor: Januszgolenia » 26 mar 2020, 21:32

Dla pewnej wartości x liczby \( \frac{1}{4^x+11} , 2^x-1,16^x-13\) są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego.
a) Wyznacz x
b) Napisz wyraz ogólny ciągu.

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14380
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8460 razy
Płeć:

Re: Ciąg geometryczny i funkcja wykładnicza

Post autor: eresh » 26 mar 2020, 21:41

Januszgolenia pisze:
26 mar 2020, 21:32
Dla pewnej wartości x liczby \( \frac{1}{4^x+11} , 2^x-1,16^x-13\) są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego.
a) Wyznacz x
b) Napisz wyraz ogólny ciągu.
\((2^x-1)^2=(16^x-13)\cdot\frac{1}{4^x+11}\\
(2^x-1)^2=(2^{4x}-13)\cdot\frac{1}{2^{2x}+11}\\
2^x=t\\
(t-1)^2=\frac{t^4-13}{t^2+11}\\
(t^2-2t+1)(t^2+11)=t^4-13\\
t^4+11t^2-2t^3-22t+t^2+11-t^4+13=0\\
-2t^3+12t^2-22t+24=0\\
t=4\\
2^x=4\\
x=2
\)


\(a_1=\frac{1}{27}\\
a_2=3\\
a_3=243\\
q=3^{4}\\
a_n=3^{-3}\cdot 3^{4n-4}\\
a_n=3^{4n-7}\)

Awatar użytkownika
Jerry
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 118 razy

Re: Ciąg geometryczny i funkcja wykładnicza

Post autor: Jerry » 26 mar 2020, 21:42

Wystarczy rozwiązać
\((t-1)^2=\frac{1}{t^2+11}\cdot(t^4-13)\ \text{ gdzie } t=2^x \wedge t>0\)
i zapisać ciąg w postaci jawnej

Pozdrawiam