Zbadać, czy równanie \((x-1)e^x = 1\) ma w przedziale \((1;2)\) rozwiązanie. Czy poza tym przedziałem mogą istnieć rozwiązania tego równania, gdy \( x \in (1;+\infty)\)
Dla funkcji \(f: [0;5] \to R\), gdzie \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 4\), wyznaczyć wartości największą i najmniejszą
Zbadać, czy równanie \((x-1)e^x = 1\) ma w przedziale \((1;2)\) rozwiązanie. Czy poza tym przedziałem mogą istnieć rozwiązania tego równania, gdy \( x \in (1;+\infty)\)
ma w przedziale \((1;2)\), na mocy tw Darboux: \(f(1)=0<1,f(2)=e^2>1\) zatem w przedziale (1,2) f musi przyjąć wartość 1
I tylko tam (wystarczy zbadać monotoniczność:\(f(x)(x-1)e^x \\f'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x>0 \ dla \ x \in (1, \infty )\)
zatem f jest rosnąca w przedziale \(( 1,+ \infty )\) ,a więc każdą wartość przyjmuje tam tylko raz.
Dla funkcji \(f: [0;5] \to R\), gdzie \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 4\), wyznaczyć wartości największą i najmniejszą
\(f'(x) = 3x^2 + 6x - 24=3(x^2+2x-8)=2(x+4)(x-2)\)
zatem f maleje od 0 do 2 gdzie przyjmuje wartość najmniejszą , rośnie od 2 do 5, gdzie przyjmuje wartość największą.
Czyli najmniejsza :\( f(2)= 2^3 + 3\cdot 2^2 - 24\cdot 2 + 4=-24\)
największa:\( f(5)= 5^3 + 3\cdot 5^2 - 24\cdot 5 + 4=84\)
