Dwa krążki na równi pochyłej, do jednego przyłożona siła na nitce w dół. Kąt równi dla toczenie bez poślizgu w górę.

[maqok]

Mamy dwa zespolone krążki jeden o masie M i promieniu R, drugi o masie m i promieniu r. Wskutek siły P przyłożonej do mniejszego krążka na koniec nitki krążki toczą się w górę. Tarcie ślizgowe stałe mi. Promień bezwładności względem osi krążka \(\gamma\). Jaki kąt powinna tworzyć z poziomem równia , po której krążki mogą toczyć się bez poślizgu w górę.



https://ibb.co/Js3G99K

[korki_fizyka]

Znowu podobny bełgot : nie promień bezwładności tylko moment bezwładności
Zastosuj II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego i postępowego.

[maqok]

Nie wiem do końca czy dobrze to zrobiłem, wydaje się to bardzo złożone zadanie...

Rozpisuję sobie równania dynamiczne ruchu postępowego względem x1:
\((M+m) \cdot a_{x1} + P \cdot sin( \alpha )+Q \cdot sin( \alpha )+T=0\)
i względem y1:
\((M+m) \cdot a_{y1}=0=N-Q \cdot cos( \alpha )-P \cdot cos( \alpha )\)
Z drugiego równania: \(N=Q \cdot cos( \alpha )+P \cdot cos( \alpha )\)

Teraz rozpisuję równanie dynamiczne ruchu obrotowego względem punktu A który jest środkiem masy obu krążków:
\(I \cdot \varepsilon =T \cdot R+P \cdot cos( \alpha ) \cdot r\)
Skoro nie ma poślizgu to \(\varepsilon = \frac{a}{r} \)
Skoro obrany punkt A to środek masy to \(I= \frac{1}{2} \cdot (M+m) \cdot R^{2}\)

Rozpisuję to:\( \frac{a}{R} \cdot \frac{(M+m) \cdot R^{2}}{2} =T \cdot R+P \cdot cos( \alpha ) \cdot r\)

Teraz wyprowadzam sobie z tego a: \(a= \frac{2(T \cdot R+P \cdot cos( \alpha ) \cdot r)}{R \cdot (M+m)} \)

Teraz chcę użyć to wyliczone a w równaniu pierwszym postępowym względem x1, potem wyodrębnić T i dać założenie że skoro bez poślizgu to wyliczone \(T \le [współczynnik tarcia] \cdot N\) a N mam wyliczone już

\(T=-(M+m) \cdot \frac{2(T \cdot R+P \cdot cos( \alpha ) \cdot r)}{R \cdot (M+m)}-P \cdot sin( \alpha )-Qsin( \alpha )\)
\(RT+2T=-P \cdot cos( \alpha ) \cdot r-P \cdot sin( \alpha )-Qsin( \alpha )\)
\(T(R+2)=-P \cdot cos( \alpha ) \cdot r-P \cdot sin( \alpha )-Qsin( \alpha )
\)
\(T= \frac{-P \cdot cos( \alpha ) \cdot r-P \cdot sin( \alpha )-Qsin( \alpha )}{R+2} \)
\(\frac{-P \cdot cos( \alpha ) \cdot r-P \cdot sin( \alpha )-Qsin( \alpha )}{R+2} \le [mi] (\cdot Q \cdot cos( \alpha )+P \cdot cos( \alpha )||/cos( \alpha ))\)
\( \frac{-P \cdot r}{R+2} -P \cdot tg( \alpha )-Q \cdot tg( \alpha ) \le [mi] \cdot Q+[mi] \cdot P\)
\((P+Q) \cdot tg( \alpha ) \ge \frac{-P \cdot r}{R+2}-[mi](Q+P)\)
\(tg( \alpha ) \ge\frac{-P \cdot r}{(R+2)(P+Q)}-[mi]\)
\( \alpha \ge arc tg(\frac{-P \cdot r}{(R+2)(P+Q)}-[mi])\)

[korki_fizyka]

Całkowity moment bezwładności \(I = I_R + I_r = \frac{1}{2}(MR^2 + mr^2)\), a momenty sił mają ramię równe r a nie R.

[maqok]

Moment siły P a właściwie jej składowej \(Pcos( \alpha )\) rzeczywiście jest r (bo siła jest przyłożona do nitki na mniejszym krążku), ale siła tarcia jest na styku dużego krążka z pochylnią czyli ramię dla T jest chyba równe R?

[maqok]

[korki_fizyka]

Z poprzedniego rysunku to nie wynikało, koło toczy sie po równi wałkiem o mniejszym promieniu. Większy wystaje poza równię wiec gdzie tu tarcie?

[maqok]

Super, wszystko jasne teraz. Źle interpretowałem rysunek. Cały czas przyjmowałem że to większy wałek toczy się po równi (na jego styku z powierzchnią jest tarcie), a do mniejszego jest po prostu tylko siła na nitce przyłożona.

Spróbuję to jeszcze raz rozwiązać i wstawić do sprawdzenia.

[maqok]

Nie wiem, coś bardzo brzydko wychodzi i nie wiem jak potem kąt z tego wyodrębnić...

(1)\((M+m) \cdot a_{x1}+t+P \cdot sin( \alpha )+Qsin( \alpha )=0\)

(2)\((M+m) \cdot a_{y1}+N-Qcos( \alpha a)-Pcos( \alpha )=0\)

(3)\(N=Qcos( \alpha )+Pcos( \alpha )\)

(4)\(I \varepsilon =Tr+Pr\)

\(I= \frac{1}{2} (MR^2+mr^2)\)
\( \varepsilon = \frac{a}{r} \)

do (4) \(\frac{a}{r} \cdot \frac{MR^2+mr^2}{2} =Tr+Pr\)

\(a= \frac{2Tr^2+2Pr^2}{MR^2+mr^2} \)

do(1) \(-(M+m) \cdot \frac{2Tr^2+2Pr^2}{MR^2+mr^2} -P \cdot sin( \alpha )-Qsin( \alpha )=T\)

\(T(1+ \frac{(M+m)2r^2}{MR^2+mr^2} = \frac{-(M+m)2Pr^2}{MR^2+mr^2} - Psin( \alpha )-Qsin( \alpha )\)

Mogę teraz podzielić przez nawias po prawej i dostać T ale potem planowałem wykorzystać to T w założeniu że \(T \le N \cdot [mi]\)
N wziąć z (3), wyodrębić jakąś jedną funkcję tryg kąta alfa i tak dostać alfa ale to jest za brzydkie żeby jakoś to alfa wyodrębnić :<

[maqok]

Rysunek mój do tego:

[korki_fizyka]

Musisz ustalić przede wszystkim jaki rysunek jest właściwy. Poza tym masz tylko rozstrzygnąć:

Jaki kąt powinna tworzyć z poziomem równia , po której krążki mogą toczyć się bez poślizgu w górę.

co pozwoli Ci rozwiązać układ r-N:

\(\frac{1}{2}(MR^2 + mr^2) \frac{a}{r} =rP \cos \alpha \\ (M+m)g \sin \alpha + P \sin \alpha = \mu [(M+m)g + P]\cos \alpha\)

[maqok]

Szczerze mówiąc kompletnie tego nie rozumiem

1) Czemu w pierwszym równaniu (dynamicznym ruchu obrotowego) pominęliśmy moment od siły tarcia?
2) Jak ten układ równań ma nas doprowadzić do zakresu kąta alfa?

[korki_fizyka]

Szczerze mówiąc kompletnie tego nie rozumiem

1) Czemu w pierwszym równaniu (dynamicznym ruchu obrotowego) pominęliśmy moment od siły tarcia?

Masz rację powinno być jeszcze po prawej stronie: \(- Tr = - \mu r ((m+M)g + P)\cos \alpha\)
naprawdę nie wiem po jakiego grzyba jest większy walec i to R może jednak jest tam jakaś szyna po której toczy się koło o promieniu R a nitka odwija sie z walec o prom. r

[maqok]

Wiesz co, myślę że problem jest taki że z pamięci odtworzyłem usłyszane gdzieś zadanie i bardzo możliwe że pominąłem fakt że coś jest jeszcze dane albo jakieś ważne założenie co do ruchu, które by nam pozwoliło to bez problemu rozwiązać.

Przy okazji zapytam na przyszłość z tego typu zadaniami. Skoro ruch pod wpływem siły P odbywa się (czy tam ma się odbywać) bez poślizgu w górę to dobrze zakładam że wektor siły tarcia jest skierowany w rozważanym wypadku w dół równi (przeciwnie do domniemanego ruchu)?

[korki_fizyka]

Kółko chce się pokręcić w lewo więc siła tarcia jest skierowana w górę równi.