Szereg geometryczny

[Amtematiksonn]

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \(a_n\), którego wszystkie wyrazy są różne od 0. Wiadomo też, że dla dowolnego k większe bądź równe 2 zachodzi nierówność \(a_{k-1}=3a_{k+1}\). Udowodnij że szereg \(a_1 + a_2 + a_3 ...\) jest zbieżny

[eresh]

\(a_1=0\;\;q\neq 0\\
a_{k-1}=3a_{k+1}\\
a_1q^{k-2}=3a_1q^k\\
a_1q^{k-2}-3a_1q^k=0\\
a_1q^{k-2}(1-3q^2)=0\\
1-3q^2=0\\
3q^2=1\\
q^2=\frac{1}{3}\\
q=\frac{\sqrt{3}}{3}\;\;\vee\;\;q=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
dla obu przypadków mamy |q|<1, zatem szereg jest zbieżny

[Amtematiksonn]

mam jeszcze problem z dwoma zadaniami:
1. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny an, którego wszystkie wyrazy są różne od 0. Szereg złożony z sumy wszystkich wyrazów tego ciągu jest zbieżny. Wykaż że stosunek dowolnego wyrazu an do sumy wszystkich następnych wyrazów jest stały.
2. Szereg geometryczny którego wszystkie wyrazy są dodatnie jest zbieżny. Wykaż że stosunek sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych do sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych jest liczbą stałą i większą od 1.

[eresh]

mam jeszcze problem z dwoma zadaniami:
1. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny an, którego wszystkie wyrazy są różne od 0. Szereg złożony z sumy wszystkich wyrazów tego ciągu jest zbieżny. Wykaż że stosunek dowolnego wyrazu an do sumy wszystkich następnych wyrazów jest stały.

\(|q|<1\\
\frac{a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+...}=\frac{a_n}{\frac{a_{n+1}}{1-q}}=\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1-q}{a_nq}=\frac{1-q}{q}\) - stała

[Amtematiksonn]

stały czyli niezależny od n tak ?

[eresh]

2. Szereg geometryczny którego wszystkie wyrazy są dodatnie jest zbieżny. Wykaż że stosunek sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych do sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych jest liczbą stałą i większą od 1.

chyba powinno być "stosunek sumy wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych do sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych..."
\(a_n>0\\|q|<1\\
\frac{a_1+a_3+a_5+...}{a_2+a_4+a_6+...}=\frac{\frac{a_1}{1-q^2}}{\frac{a_2}{1-q^2}}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{q}\)
szereg jest zbieżny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie, więc \(q\in (0,1)\), zatem \(\frac{1}{q}>1\)

[eresh]

stały czyli niezależny od n tak ?

tak

[Amtematiksonn]

tak, nieparzystych, pomyliło mi się

[Amtematiksonn]

dlaczego tam jest q do kwadratu ?

[eresh]

dlaczego tam jest q do kwadratu ?

bierzemy ciąg
\(a_2, a_4, a_6, ...\\
\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_1q^3}{a_1q}=q^2\)
podobnie w ciągu złożonym z nieparzystych indeksów

[Amtematiksonn]

aaaaaa faktycznie, dobra dzięki wielkie jeszcze jedno zadanie mam z tych szeregów, wydaje się proste ale się w pewnym momencie zgubiłem: dla jakich wartości x szereg cos(pi * x) - cos^2(pi * x) + cos^3(pi * x) - cos^4(pi * x)... jest zbieżny? Zastanawiam się co z tym cosinusem zrobić.

[eresh]

aaaaaa faktycznie, dobra dzięki wielkie jeszcze jedno zadanie mam z tych szeregów, wydaje się proste ale się w pewnym momencie zgubiłem: dla jakich wartości x szereg cos(pi * x) - cos^2(pi * x) + cos^3(pi * x) - cos^4(pi * x)... jest zbieżny? Zastanawiam się co z tym cosinusem zrobić.

\(|q|<1\\
|\frac{\cos^2\pi x}{\cos \pi x}|<1\\
|\cos \pi x|<1\\
\cos \pi x<1\;\;\;\wedge\;\;\;\cos \pi x>-1\\
\pi x\in\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}\\
x\in\mathbb{R}\setminus\{k\}, k\in\mathbb{C}
\)

[Amtematiksonn]

q chyba wynosi -cos(pi * x) ?

[eresh]

q chyba wynosi -cos(pi * x) ?

ale \(|-\cos \pi x|=|\cos \pi x|\)