zbadaj różniczkowalność funkcji

[sopczi2001]

f(x) : xarctg(1/x) dla x ≤ 0
0 dla x > 0

[grdv10]

Zadanie jest postawione bezsensownie, bo nie ma definicji \(f(0)\).

[radagast]

jeśli jest tak
\(f(x) = \begin{cases} x \arctg \frac{1}{x} dla\ \ \ x ≤ 0\\
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ \ x > 0\end{cases} \)
to funkcja jest źle określona
jeśli jest tak
\(f(x) = \begin{cases} x \arctg \frac{1}{x} dla\ \ \ x < 0\\
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ \ x \ge 0\end{cases} \)
to nie jest rózniczkowalna w 0

jeśli jest tak
\(f(x) = \begin{cases} x \arctg \frac{1}{x} dla\ \ \ x < 0\\
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ \ x > 0\end{cases} \)
to jest różniczkowalna

[Jerry]

jeśli jest tak
\(f(x) = \begin{cases} x \arctg \frac{1}{x} dla\ \ \ x < 0\\
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ \ x > 0\end{cases} \)
to jest różniczkowalna

Według mnie warunkiem koniecznym różniczkowalności jest ciągłość, a w tym przypadku nie zachodzi

Pozdrawiam

[grdv10]

Jerry, ta funkcja nie jest określona w zerze, więc w ogóle nie można mówić o ciągłości ze względów - nazwijmy to - proceduralnych.

[radagast]

Według mnie warunkiem koniecznym różniczkowalności jest ciągłość, a w tym przypadku nie zachodzi

Pozdrawiam

Ta funkcja jest ciągła w całej dziedzinie

[Jerry]

Różniczkowalność w przedziałach określoności była oczywista a priori

Pozdrawiam
PS. Dyskutujemy o hipotetycznym, dzięki autorowi wątku, problemie...

[edited] po nowych postach: zgoda!

[grdv10]

Wyjściowo autor tematu postulował funkcję określoną na całej prostej. Wszystko, co tu napisano, nie ma większego sensu w kontekście oryginalnego zadania. Nie naszą rolą jest domyślać się, co autor chciał napisać. Pytanie też trzeba umieć zadać. Niech najpierw je zada, a potem można udzielać pomocy.

Problem jest taki, że uczniowie nie są nauczani właściwego wyrażania myśli, języka matematyki. Jedynie uczy ich się zakreślać odpowiedzi ABCD, bo zadania otwarte to już kosmos, a maturę można zdać na minimum na zadaniach zamkniętych. Efekt jest taki, że powstają nam matematyczni analfabeci.

[sopczi2001]

pomyłka wynikała z późnej pory i zmęczenia, a nie "uczenia zakreślania odpowiedzi abcd i zdania matury na minimum"
można skomentować raz błąd zamiast powtarzać dziesięć razy wysnute wnioski

miało być:

f(x): xarctg(1/x) dla x ≠ 0
0 dla x = 0

[grdv10]

Funkcja arcus tangens jest ograniczona, więc przy \(x\to 0\), wyrażenie \(x\arctg\dfrac{1}{x}\) jako iloczyn wyrażeń zmierzającego do zera i ograniczonego, zmierza do zera, a zatem nasza funkcja jest ciągła w zerze. Tak więc badanie różniczkowalności w zerze jest tu zasadne. Ponieważ \(f(0)=0,\) to z definicji pochodnej mamy \(f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\arctg\dfrac{1}{x}.\) Ta granica nie istnieje (sprawdź granice jednostronne), a zatem nasza funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie zero. Wszędzie poza zerem jest różniczkowalna jako iloczyn funkcji różniczkowalnych.

Nie bierz aż tak bardzo do siebie moich uwag o uczeniu zakreślania. Ja naprawdę wiem jak teraz naucza się w szkole, więc opisuję bolączki systemu, a nie Twój stan wiedzy.