Rozwiąż równanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Rozwiąż równanie
Robimy założenia o podstawach logarytmów (jakie?). Następnie korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu tak, aby mieć wszędzie wspólną podstawę \(2\), a jeszcze lepiej, żeby w równaniu występowała tylko liczba \(\log_2x.\) Wtedy wstawiamy nową zmienną, \(t=\log_2x.\) Dojdziemy do równania \(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{3+t}=\dfrac{2}{2+t}.\)
Odp. \(x=\frac{1}{64}\)
Odp. \(x=\frac{1}{64}\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Rozwiąż równanie
Wzory:
\(\log_ab= \frac{1}{\log_ba} \) (z wzoru na zmianę podstawy logarytmu)
Wobec tego zadanie będzie wyglądało tak:
\( \frac{1}{\log_2x} + \frac{1}{\log_2(8x)} = \frac{1}{\log_4(4x)} \iff \frac{1}{\log_2x} + \frac{1}{\log_2x+3} = \frac{2}{\log_2x+2} ,\,\,\, x\in \rr_+ \bez \left\{ \frac{1}{8} , \frac{1}{4} , 1\right\} \)
Podstawiając \( \log_2x =t \) otrzymujemy równanie:
\[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t+3} = \frac{2}{t+2} \]
Rozwiązaniem tego równania jest t=-6, więc
\(\log_ab= \frac{1}{\log_ba} \) (z wzoru na zmianę podstawy logarytmu)
Wobec tego zadanie będzie wyglądało tak:
\( \frac{1}{\log_2x} + \frac{1}{\log_2(8x)} = \frac{1}{\log_4(4x)} \iff \frac{1}{\log_2x} + \frac{1}{\log_2x+3} = \frac{2}{\log_2x+2} ,\,\,\, x\in \rr_+ \bez \left\{ \frac{1}{8} , \frac{1}{4} , 1\right\} \)
Podstawiając \( \log_2x =t \) otrzymujemy równanie:
\[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t+3} = \frac{2}{t+2} \]
Rozwiązaniem tego równania jest t=-6, więc
Odpowiedź: \(x= \frac{1}{64}\)