Geometria analityczna, trójkąt prostokątny

[C4mpi59]

Mam do rozwiązania takie zadanie z jakiegoś zbioru zadań maturalnych, ale nie mam pojęcia jakiego, bo zostało nam tylko podyktowane.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest zawarta w osi OY i należy do niej początek układu współrzędnych. Jedna z przyprostokątnych jest zawarta w prostej 4x-3y-15=0. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta jeśli jego P= 12,5.

[korki_fizyka]

Zastosuj wzór na pole trójkąta i wykorzystaj to, że druga przyprostokątna zawarta jest w prostej prostopadłej do danej. R-nie prostej przechodzącej przez 2 punkty i prostopadłej znasz?

[C4mpi59]

Niestety nie znam, ogólnie mamy dość ograniczoną ilość różnych wzorów w ksiażce. Jak z pola trójkąta, skoro nie znam długości żadnego z boków ani wysokosci? Chyba że jakiś wzór którego nie znam, co jest dość prawdopodobne

[anka]

\(4x-3y-15=0\)
\(y=\frac{4}{3}x-5\)

Współrzędne A
To punkt przecięcia prostych
\(x=0\) i \(y=\frac{4}{3}x-5\)
Z układu równań wyjdzie \(y=-5\)
\(A=(0,-5)\)

Współrzędne C
Należy do prostej \(y=\frac{4}{3}x-5\), więc jego współrzędne można zapisać jako:
\(C=(x_C,\frac{4}{3}x_C-5)\)


Prosta przechodząca przez punkty B i C jest prostopadła do prostej \(y=-\frac{4}{3}x-5\),
czyli jest postaci
\(y=-\frac{3}{4}x+b\)

Przechodzi przez punkt \(B=(0,y_B)\), czyli jego współrzędne muszą to równanie spełniać.
\(y_B=-\frac{3}{4}\cdot0+b\)
\(y_B=b\)
\(B=(0,b)\)

Wyznaczam \(b\)
Współczynnik kierunkowy \(y=-\frac{3}{4}x+b\)
\(a=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\)
\(\frac{\frac{4}{3}x_C-5-b}{x_C-0}=-\frac{3}{4}\)
\(\frac{\frac{4}{3}x_C-5-b}{x_C}=-\frac{3}{4}\)
\(-3x_C=4(\frac{4}{3}x_C-5-b)\)
\(-3x_C=\frac{16}{3}x_C-20-4b\)
\(4b=\frac{16}{3}x_C-20+3x_C\)
\(4b=\frac{25}{3}x_C-20\ \ \ |:4\)
\(b=\frac{25}{12}x_C-5\)
-----------------------
Obliczam \(x_C\)
Z pola trójkąta
\(P=\frac{|AC|||CB|}{2}=12.5\)
\(\frac{\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2)}\cdot\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2)}}{2}=12,5\ \ \ |\cdot2\)

\(\sqrt{(x_C-0)^2+(\frac{4}{3}x_C - 5+5)^2}\cdot\sqrt{(0-x_C)^2+(b-\frac{4}{3}x_C + 5)^2}=25\)

\(\sqrt{x_C^2+(\frac{4}{3}x_C)^2}\cdot\sqrt{x_C^2+(b-\frac{4}{3}x_C + 5)^2}=25\)

\(\sqrt{x_C^2+\frac{16}{9}x_C^2}\cdot\sqrt{x_C^2+(\frac{25}{12}x_C-5-\frac{4}{3}x_C + 5)^2}=25\)

\(\sqrt{x_C^2+\frac{16}{9}x_C^2}\cdot\sqrt{x_C^2+(\frac{3}{4}x_C)^2}=25\)

\(\sqrt{\frac{25}{9}x_C^2}\cdot\sqrt{x_C^2+\frac{9}{16}x_C^2}=25\)

\(\sqrt{\frac{25}{9}x_C^2}\cdot\sqrt{\frac{25}{16}x_C^2}=25\)

\(\frac{5}{3}x_C\cdot\frac{5}{4}x_C=25\)

\(\frac{25}{12}x_C^2=25\ \ \ |:\frac{25}{12}\)

\(x_C^2=12\)

\(x_C=-2\sqrt3\ \ \ lub\ \ \ x_C=2\sqrt3\)

Dalej już chyba sobie poradzisz.