dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: poetaopole »

Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{2} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{3} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: eresh »

poetaopole pisze: 31 sie 2019, 14:13 Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{2} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{3} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.
Chyba błąd w treści:
Sześcian w podstawie ma kwadrat o boku a. Jego przekątna nie może mieć długości \(a\sqrt{3}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Re: dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: poetaopole »

No tak, zaraz postaram się poprawić treść zadania
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Re: dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: poetaopole »

Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{3} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{2} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: radagast »

No to tak:
załóżmy , że \(a \sqrt{3}= \frac{p}{q} \) przy czym \(p,q \in N \)
wtedy \(a \sqrt{2} = \frac{p \sqrt{2} }{q \sqrt{3}}= \frac{p}{q} \sqrt{6} \)
Jeśli byłaby to liczba wymierna to \(\frac{p}{q} \sqrt{6}= \frac{r}{s} \) przy czym \( r,s \in N \)
czyli \( \sqrt{6}ps =rq\)
czyli \(2 \cdot 3 p^2s^2=r^2q^2\)
rozważmy liczbę dwójek występujących w rozkładzie na czynniki lewej strony powyższej równości : jest nieparzysta
rozważmy liczbę dwójek występujących w rozkładzie na czynniki prawej strony powyższej równości : jest parzysta
-sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze, co oznacza , że \(a \sqrt{2} \) jest liczbą niewymierną
cbdo
ODPOWIEDZ