rozwiązać równanie liniowe
a) \(\frac{dy}{dx}-y=-2e^{-x}\)
rozwiązać równanie liniowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Najpierw rozwiązuje się równanie jednorodne: \(\frac{dy}{dx} -y=0 \iff \frac{dy}{y} =dx \So y=Ce^x\)
Teraz uzmienniamy stałą C=C(x)\(\So \frac{dy}{dx} =C'e^x+Ce^x\), a nasze równanie przyjmuje postać
\(C'e^x+Ce^x-Ce^x=-2e^{-x} \iff C'e^x=-2e^{-x}\\
C'(x)=-2e^{-2x} \So C(x)=\int -2e^{-2x} dx=e^{-2x}+c\)
Teraz wstawiamy to do wzoru na y:
\(y=Ce^x= \left( e^{-2x}+c\right)e^x=ce^x+e^{-x}\)
Sprawdzenie:
\(y=ce^x+e^{-x} \So \frac{dy}{dx}=y'=ce^x-e^{-x}\\
\frac{dy}{dx}-y=ce^x-e^{-x}- \left( ce^x+e^{-x}\right)=-2e^{-x}\)
Wszystko się zgadza, więc
Teraz uzmienniamy stałą C=C(x)\(\So \frac{dy}{dx} =C'e^x+Ce^x\), a nasze równanie przyjmuje postać
\(C'e^x+Ce^x-Ce^x=-2e^{-x} \iff C'e^x=-2e^{-x}\\
C'(x)=-2e^{-2x} \So C(x)=\int -2e^{-2x} dx=e^{-2x}+c\)
Teraz wstawiamy to do wzoru na y:
\(y=Ce^x= \left( e^{-2x}+c\right)e^x=ce^x+e^{-x}\)
Sprawdzenie:
\(y=ce^x+e^{-x} \So \frac{dy}{dx}=y'=ce^x-e^{-x}\\
\frac{dy}{dx}-y=ce^x-e^{-x}- \left( ce^x+e^{-x}\right)=-2e^{-x}\)
Wszystko się zgadza, więc
- Odp.: rozwiązaniem równania \(\frac{dy}{dx} -y=-2e^{-x}\) jest funkcja \(y=ce^x+e^{-x}\)