Uzasadnij zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć:
Uzasadnij zbieżność szeregu
Uzasadnij zbieżność szeregu \(\sum_{n=2}^{ \infty } (-1)^n \frac{ln(n+1)}{n}\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Uzasadnij zbieżność szeregu
\(\frac{\ln(n+1)}{n} \ge \frac{\ln(n+2)}{n+1} \iff \\
(n+1)\ln (n+1) \ge n\ln (n+2) \iff\\
\ln (n+1)^{n+1} \ge \ln (n+2)^n \iff\\
(n+1)^{n+1} \ge (n+2)^n \iff\\
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}} \ge \frac{(n+2)^n}{n^{n+1}} \iff\\
{(1+ \frac{1}{n}) ^{n+1}}\ge \frac{1}{n} \frac{(n+2)^n}{n^{n}}\)
lewa strona dąży do e, prawa do 0. No to od pewnego miejsca nierówność zachodzi
Może to można jakoś prościej ale nie wiem jak
(n+1)\ln (n+1) \ge n\ln (n+2) \iff\\
\ln (n+1)^{n+1} \ge \ln (n+2)^n \iff\\
(n+1)^{n+1} \ge (n+2)^n \iff\\
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}} \ge \frac{(n+2)^n}{n^{n+1}} \iff\\
{(1+ \frac{1}{n}) ^{n+1}}\ge \frac{1}{n} \frac{(n+2)^n}{n^{n}}\)
lewa strona dąży do e, prawa do 0. No to od pewnego miejsca nierówność zachodzi
Może to można jakoś prościej ale nie wiem jak
-
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć: