okrąg wpisany w kąt

[natalka96]

W kąt wypukły o wierzchołku \(O\) wpisano okrąg o środku \(S\). Przez punkt \(S\) poprowadzono prostą przecinającą ramiona kąta w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz długość promienia wpisanego okręgu wiedząc, że suma odcinków \(OA\) i \(OB\) jest równa \(40\), a pole trójkąta \(AOB\) jest równe \(100\)

[eresh]

\(P_{ABO}=100\\
P_{ASO}+P_{BOS}=100\\
\frac{1}{2}|AO|\cdot r+\frac{1}{2}|BO|\cdot r=100\\
\frac{1}{2}r(|AO|+|BO|)=100\\
\frac{1}{2}r\cdot 40=100\\
20r=100\\
r=5\)

[wmichal]

eresh dlaczego promień jest wysokością trójkąta BOS?

[eresh]

eresh dlaczego promień jest wysokością trójkąta BOS?

poprowadź wysokość tego trójkąta z wierzchołka S

[wmichal]

widzę, że promień jest wysokością w trójkącie AOS ale nie wiem dlaczego jest tak w przypadku BOS

[Crazy Driver]

Prosta \(BO\) jest styczną do okręgu, więc promień poprowadzony do punktu styczności jest do niej prostopadły. Jest to więc odcinek przechodzący przez \(S\) i prostopadły do \(BO\), czyli — z definicji — wysokość trójkąta \(BOS\) opuszczona z \(S\).

[wmichal]

dziękuje