Równanie trygonometryczne z szeregiem geometrycznym

[Miszka06]

Cześć, dzisiaj mam do Was szybką prośbę o wyjaśnienie równania trygonometrycznego, które rozwiązałem, jednak mój wynik nie zgadza się z odpowiedzią - sądzę jednak, że może on być poprawny. Zadanie prezentuje się następująco:

Rozwiąż równanie, gdzie lewa strona jest szeregiem geometrycznym zbieżnym: \(cos^{2}x + cos^{3}x + cos^{4}x + ... = cosx + 1\)

Warunek |q| < 1 wyszedł mi zgodny, zatem zadanie rozwiązałem w taki sposób:

\(\frac{cos^{2}x}{1-cosx}= cosx + 1\) (mnożę razy mianownik)
\(cos^{2}x = 1 - cos^{2}x\)
\(2cos^{2}x = 1\)
\(cos^{2}x = \frac{1}{2}\)
\(cos^{2}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)lub \(cos^{2}x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) lub \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\)

Gdzie k \(\in\) C.

Jeżeli nigdzie nie popełniłem błędu, to ten wynik powinien być poprawny. W odpowiedziach jest jednak \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\). Wiem, że wyniki trygonometryczne można łączyć, jednak ja nie umiem i nie chcę tego robić. Czy moje rozumowanie jest zatem również poprawne? Bardzo dziękuję za pomoc!

[eresh]

\(cos^{2}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)lub \(cos^{2}x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) lub \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\)

Gdzie k \(\in\) C.

Jeżeli nigdzie nie popełniłem błędu, to ten wynik powinien być poprawny. W odpowiedziach jest jednak \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\). Wiem, że wyniki trygonometryczne można łączyć, jednak ja nie umiem i nie chcę tego robić. Czy moje rozumowanie jest zatem również poprawne? Bardzo dziękuję za pomoc!

bez kwadratów
\(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\So x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\;\; \vee \;\;x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\
\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\So x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\
k\in\mathbb{C}\)

[Miszka06]

\(cos^{2}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)lub \(cos^{2}x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) lub \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\)

Gdzie k \(\in\) C.

Jeżeli nigdzie nie popełniłem błędu, to ten wynik powinien być poprawny. W odpowiedziach jest jednak \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\). Wiem, że wyniki trygonometryczne można łączyć, jednak ja nie umiem i nie chcę tego robić. Czy moje rozumowanie jest zatem również poprawne? Bardzo dziękuję za pomoc!

bez kwadratów
\(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\So x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\;\; \vee \;\;x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\
\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\So x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\
k\in\mathbb{C}\)

Faktycznie, zapomniałem o tym, że są cztery odpowiedzi, bo to kwadrat. Tamtą linijkę oczywiście źle przepisałem, wybacz. Dzięki wielkie za pomoc!