Trapez równoramienny.

[MiedzianyDawid]

Punkty A(0,-5) oraz D(-3,-1) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego osią symetrii jest prosta o równaniu x+2y=0. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków oraz długość odcinka łączącego środki ramion tego trapezu.

[kerajs]

Transformata tej symetrii to:
\(\begin{cases} x'= \frac{-3x-4y}{5} \\ y'= \frac{-4x+3y}{5} \end{cases}\)
stąd \(A'=B=(4,-3) \ \ , \ \ D'=C=( \frac{13}{5}, \frac{9}{5} )\)
Środki ramion to: \(( \frac{-3}{2},-3 )\) i \(( \frac{33}{10}, \frac{-3}{5} )\) , więc długość odcinka pewnie bez problemu policzysz.

[Galen]

Oś symetrii trapezu równoramiennego przechodzi przez środki podstaw AB i DC.
Równanie tej osi \(x+2y=0\\y=- \frac{1}{2}x\)
Prosta AB jest prostopadła do osi
\(y=2x+b\;\;\;przez\;\;(0;-5)\\-5=2 \cdot 0+b\;\;\; \So \;\;\;\;b=-5\\y=2x-5\)
Punkt wspólny osi i tej prostej wyznacz z układu równań
\(\begin{cases} y=- \frac{1}{2}x\\y=2x-5 \end{cases}\\2x-5= -\frac{1}{2}x\\x=2\;\;i\;\;\;\;y=-1\)
Punkt (2;-1) jest środkiem odcinka AB.
\(A=(0;-5)\;\;\;\;i\;\;\;\;B=(x;y)\;\;\;\;i\;\;\; \frac{0+x}{2}=2\;\;\;\;\;i\;\;\;\; \frac{-5+y}{2}=-1\\x=4\;\;\;\;\;i\;\;\;y=3\\B=(4;3)\)
Analogicznie wyznacz C.
\(Prosta\;\;DC\;\;y=2x+5\)
Punkt wspólny z osią
\(\begin{cases} y=- \frac{1}{2}x\\y=2x+5 \end{cases}\\2x+5=- \frac{1}{2}x\\x=-2\;\;\;\;i\;\;\;y=1\\Punkt\;(-2;1) \;\;jest\;\;środkiem\;\;DC\\C=(x;y)\;\;\;i\;\;\;D=(-3;-1)\\ \frac{-3+x}{2}=-2\;\;\;\;i\;\;\;\; \frac{-1+y}{2}=1\\x=-1\;\;\;i\;\;\;y=3\\C=(-1;3)\)
Długość odcinka KM łączącego środki ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw tego trapezu.
\(|KM|= \frac{|AB|+|DC|}{2}= \frac{4 \sqrt{5}+2 \sqrt{5} }{2}=3 \sqrt{5}\)

[kerajs]

Ech, źle przepisałem transformatę, więc późniejsze obrazy punktów były błędne.
Właściwa transformata tej symetrii to:
\(\begin{cases} x'= \frac{3x-4y}{5} \\ y'= \frac{-4x-3y}{5} \end{cases}\)
stąd \(A'=B=(4,3) \ \ , \ \ D'=C=( -1, 3 )\)
Środki ramion to: \(( \frac{-3}{2},-3 )\) i \(( \frac{3}{2}, 3 )\) , a długość odcinka o ich końcach to \(3 \sqrt{5}\)

Sorry.

@ Galen
Dziękuję za wskazanie błędu.

[MiedzianyDawid]

Dziękuję za rozwiązanie!