Statystyka z dystrybuanty

[lukjack]

\(F(x)=\left\{\begin{array}{l}0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dla\;x\;mniejszych\;od\;1\\\frac{x^2}9-\frac{2x}9+\;\frac10\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dla\;x\;od\;1\;do\;4\\1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dla\;x\;większych\;od\;4\end{array}\right.\)


a) Wyznacz wartość oczekiwaną \(m\), wariancję \(\sigma^2\) i odchylenie standardowe \(\sigma\) generatora o podanej dystrybuancie.

b) przedział od 1 do 4 podzielono na trzy równe części. Generując liczby losowe uzyskano w poszczególnych przedziałach liczności (22,61,97). Wyznacz średnią \(\overline x\) i odchylenie standardowe s.

c) Oceń zgodność \(\overline x\) i \(m\). (Oblicz \(\frac{\left|\overline x-m\right|}\sigma\sqrt n\;\;\;\;n-liczność\;próby,\;n\geq30\))

d) Oceń zgodność \(s\) i \(\sigma\). (Oblicz \(\left|\sqrt{2s}\frac s\sigma-\sqrt{2n-3}\right|\;\;\;\;n-liczność\;próby,\;n\geq50\))

e) Oceń zgodność liczności \((k_1,k_2,k_3)\) w poszczególnych przedziałach z prawdopodobieństwami teoretycznymi \((p_1,p_2,p_3)\). [Oblicz \(\frac{\left(k_1-np_1\right)^2}{np_1}+\frac{\displaystyle\left(k_1-np_2\right)^2}{\displaystyle np_2}+\frac{\displaystyle\left(k_1-np_3\right)^2}{\displaystyle np_3}\;\;\;\;\;\;n-liczność\;próby,\;np_i>5\)]

[panb]

a)

• \(m=EX= \int_{- \infty }^{+ \infty } xf(x)dx\), gdzie \(f(x)= F'(x)\)
  \(EX^2=\int_{- \infty }^{+ \infty }x^2f(x)dx\\
  
  \sigma^2=EX^2-m^2,\quad \sigma= \sqrt{\sigma^2}\)

Odpowiedź: \(m=3, \,\, \sigma^2=0.5, \,\,\sigma\approx 0,71\)

[panb]

\(\begin{array} {c|c|c|c}
\text{przedział }&\text{częstość } [n_i]&\text{środek } [\dot x_i]&n_i \cdot \dot x_i&n_i \cdot \dot x^2_i\\\hline 1 - 2&22&1,5&33 & 49,5\\2-3&61&2,5&152,5 &381,25 \\3 - 4&97&3,5& 339,5&1188,25 \\ \hline \sum &180 & --- & 525& 1619
\end{array}\)

\(\sigma^2= \frac{1619}{180}- \left( \frac{525}{180} \right)^2=8,99-8,50=0,49 \So \sigma=0,7\)

[panb]

Resztę sobie policzysz - masz przecież wzory.

[lukjack]

b) Któreś z tych rozwiązań jest dobre



c) i d) z \(n\) mam podstawić 180
a \(\overline x\) to ma być średnią tego histogramu, czy funkcji gęstości

[lukjack]

\(\begin{array} {c|c|c|c}
\text{przedział }&\text{częstość } [n_i]&\text{środek } [\dot x_i]&n_i \cdot \dot x_i&n_i \cdot \dot x^2_i\\\hline 1 - 2&22&1,5&33 & 49,5\\2-3&61&2,5&152,5 &381,25 \\3 - 4&97&3,5& 339,5&1188,25 \\ \hline \sum &180 & --- & 525& 1619
\end{array}\)

\(\sigma^2= \frac{1619}{180}- \left( \frac{525}{180} \right)^2=8,99-8,50=0,49 \So \sigma=0,7\)

tak to powinno być policzone?
jeśli \(\overline x\) i \(s\) nie liczymy z wartości funkcji

c)
\(\frac{\left|\overline x-m\right|}\sigma\sqrt n=\frac{\left|2,9165-3\right|}{0,7071}\sqrt{180}=1,5843\)

d)
\(\left|\sqrt{2n}\frac s\sigma-\sqrt{2n-3}\right|=\left|\sqrt{2\times180}\frac{0,6982}{0,7071}-\sqrt{2\times180-3}\right|=1,5959\)

a jak zabrać się za e)

[panb]

Myślę, że \(p_1=P(1\le X \le 2)=F(2)-F(1)\\
p_2=P(2\le X \le 3)=...\\
p_3=P(...)\)
Wyniki wychodzą takie jak ty policzyłeś korzystając z funkcji gęstości.

tak to powinno być policzone?

To taki sam sposób jak twój - wyniki takie same.

c) i d) z n mam podstawić 180

Tak

a \(\kre{x}\) to ma być średnią tego histogramu, czy funkcji gęstości

z funkcji to m, \(\kre{x}\) oraz s - z histogramu.

[lukjack]

\(\begin{array}{l}F(1)=0\\F(2)=\frac19\\F(3)=\frac39\\F(4)=\frac59\end{array}\)

\(p_1+p_2+p_3=1\)

\(\begin{array}{l}np_1=180\ast\frac19=20\\np_2=180\ast\frac13=60\\np_3=180\ast\frac59=100\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{\displaystyle(22-20)^2}{\displaystyle20}+\frac{\displaystyle(61-60)^2}{\displaystyle60}+\frac{\displaystyle(97-100)^2}{\displaystyle100}=\frac{2^2}{20}+\frac{1^2}{60}+\frac{(-3)^2}{100}=\frac{23}{75}=0,3067\;<\;5,9915\end{array}\)

i to poniżej jest źle

[panb]

W zadaniu chodziło (najprawdopodobniej) o sprawdzenie jaki błąd popełnia się licząc średnią i odchylenie z próby i z rozkładu.
Zobacz jakie niewielkie różnice są w obliczeniach z rozkładu (m=3, \(\sigma=0,71\)) i z próby ( \(\kre{x}=2,917,\,\,\, s=0,70\)).

Twoje obliczenia powyżej mieszają te dwie rzeczy.