Witam, prosiłbym o pomoc lub ewentualne wskazówki jak rozwiązać poniższe zadanie:
W trójkąt równoramienny, którego ramiona są długości a, a miara kąta zawartego pomiędzy nimi wynosi α, wpisano prostokąt w taki sposób, że jeden z boków prostokąta zawarty jest w jednym z ramion trójkąta. Jakie powinny być wymiary tego prostokąta, aby jego pole było największe? Wyznaczyć wartość tego największego pola.
Zadanie optymalizacyjne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Zadanie optymalizacyjne
WSKAZÓWKI:
Używając oznaczeń jak na rysunku powyżej.
Używając oznaczeń jak na rysunku powyżej.
- \(P=xy\\
y=a-p-q\\
\frac{x}{p}= \tg \alpha \,\,\, \wedge \,\,\, \frac{q}{x}= \tg \beta \\
\beta = 90^ \circ -\frac{180^ \circ - \alpha }{2}= \frac{ \alpha }{2}\)
-
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Zadanie optymalizacyjne
można ciut prościej:panb pisze: Używając oznaczeń jak na rysunku powyżej.
To pozwoli zapisać wzór na pole jako funkcję zmiennej x. Dalej działaj osobiście.....
- \(P=xy\\
y=a-p-q\\
\frac{x}{p}= \tg \alpha \,\,\, \wedge \,\,\, \frac{q}{x}= \tg \beta \\
\beta = 90^ \circ -\frac{180^ \circ - \alpha }{2}= \frac{ \alpha }{2}\)
\(\frac{x}{a-y}=\sin \alpha\)
stąd \(x=(a-y)\sin \alpha\)
czyli \(P(y)=y(a-y)\sin \alpha\), \(y \in \left(0,a \right)\)
oczywiście \(P_{max}=P( \frac{a}{2})= \frac{a^2}{4} \sin \alpha\)
zmienne p,q oraz kąt \(\beta\) - nie potrzebne
Swoją drogą, zastanawiam się jaka pułapka jest w tym zadaniu, (bo zdaję się , jakaś jest )
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Zadanie optymalizacyjne
Można jeszcze prościej
Odnoszę się do pierwotnego rysunku
Weźmy i przesuńmy równolegle \(\Delta\) prostokątny o przyprostokątnych \(p,x\) wzdłuż boku niebieskiego , tak ,że niebieskie odcinki \(p, q\) wyznaczą jeden odcinek .
Wtedy pole prostokąta o wymiarach \(x,y\) będzie równe polu powstałego równoległoboku ( trzeba to narysować)
Oraz boki równoległoboku sumują się do długości ramienia \(\Delta\) czyli \(a\) i jego pole równoległoboku = \(\sin \alpha \cdot x_1 \cdot y_1\) , gdzie \(x_1,y_1\) to długości boków powstałego równoległoboku .
Dostajemy natychmiast, bez ich liczenia ,że maksimum pola prostokąta , realizowane jest gdy \(x_1=y_1=\frac{a}{2}\)
...........................................................................
Odnoszę się do pierwotnego rysunku
Weźmy i przesuńmy równolegle \(\Delta\) prostokątny o przyprostokątnych \(p,x\) wzdłuż boku niebieskiego , tak ,że niebieskie odcinki \(p, q\) wyznaczą jeden odcinek .
Wtedy pole prostokąta o wymiarach \(x,y\) będzie równe polu powstałego równoległoboku ( trzeba to narysować)
Oraz boki równoległoboku sumują się do długości ramienia \(\Delta\) czyli \(a\) i jego pole równoległoboku = \(\sin \alpha \cdot x_1 \cdot y_1\) , gdzie \(x_1,y_1\) to długości boków powstałego równoległoboku .
Dostajemy natychmiast, bez ich liczenia ,że maksimum pola prostokąta , realizowane jest gdy \(x_1=y_1=\frac{a}{2}\)
...........................................................................
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Zadanie optymalizacyjne
Do powyższego postu .
NIe zawsze( czyli zależy od kąta \(\alpha\) taki prostokąt ( będący kwadratem) istnieje .
Powyższe wymaga naprawy
NIe zawsze( czyli zależy od kąta \(\alpha\) taki prostokąt ( będący kwadratem) istnieje .
Powyższe wymaga naprawy