Liczby naturalne, dodatnie, uporządkowane rosnąco, podzielono na grupy w następujący sposób :
(1), (2,3), (4,5,6), ... itd.
a następnie obliczono sumę wszystkich liczb z n−tej grupy oraz (n−1) grupy, gdzie n>1 i n
należy do N+
Różnica tych sum jest równa 1306. Oblicz sumę liczb w n−tej grupie.
A więc Sn−S(n−1)=1306
Sn oznaczmy jako sumę n−wyrazowego ciągu bn
S(n−1) oznaczmy jako sumę n−1 wyrazowego ciągu an
I odnalazłem takie zależności : b1 = an+1, r(an) = 1, r(bn) = 1
b1=an+1=(a1+n−1)+1 = a1+n
bn=b1+n−1=(a1+n)+n−1 = a1+2n−1
No i po podstawieniu do różnicy sum tych ciągów, wyszło mi, że :
2a1+2n^2+n−1=2612
No i dwie niewiadome, jedno równanie, czyli jeszcze są jakieś zależności, których ja nie
zauważyłem. Pomożecie?
Ciekawe zadanko z ciągami arytmetycznymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Expert
- Posty: 6268
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
- Rozkręcam się
- Posty: 36
- Rejestracja: 16 paź 2018, 16:59
- Podziękowania: 15 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re:
To ja jestem autorem tamtego tematu, jednakże liczę tu na odpowiedź @radagast bądź @panb lub innych, bo wiem, że oni na 100% tak wytłumaczą, że zrozumiem, czego nie mogę powiedzieć o osobach z tamtego forum.korki_fizyka pisze:http://matematyka.pisz.pl/forum/383180.html
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Niech \(a_n\) oznacza sumę n-tej grupy.
Zauważmy, że
\(a_3=4+5+6=1+2+3+4+5+6-(1+2+3)=S_{1+2+3}-S_{1+2}=S_6-S_2\\
a_4=7+8+9+10=1+2+...+10-(1+2+3+4)=S_{1+2+3}-S_{1+2+3}=S_{10}-S_6\)
Zatem \(a_n=S_{1 +2+3+\ldots +n}-S_{1+2+3+\ldots +(n-1)}\), gdzie \(S_m\) oznacza sumę m kolejnych liczb naturalnych od 1 do m i \(S_m= \frac{1+m}{2} \cdot m\)
W takim razie
\(a_n=S_{\frac{n(n+1)}{2}}-S_{\frac{n(n-1)}{2}}= \frac{1+\frac{n(n+1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1+\frac{n(n-1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}\)
Po wykonaniu obliczeń dostajemy: \[a_n= \frac{n^3+n}{2}\] Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(a_n-a_{n-1}=1306\), a w odpowiedzi należy podać wartość \(a_n\) dla n będącego rozwiązaniem tego równania.
Zauważmy, że
\(a_3=4+5+6=1+2+3+4+5+6-(1+2+3)=S_{1+2+3}-S_{1+2}=S_6-S_2\\
a_4=7+8+9+10=1+2+...+10-(1+2+3+4)=S_{1+2+3}-S_{1+2+3}=S_{10}-S_6\)
Zatem \(a_n=S_{1 +2+3+\ldots +n}-S_{1+2+3+\ldots +(n-1)}\), gdzie \(S_m\) oznacza sumę m kolejnych liczb naturalnych od 1 do m i \(S_m= \frac{1+m}{2} \cdot m\)
W takim razie
\(a_n=S_{\frac{n(n+1)}{2}}-S_{\frac{n(n-1)}{2}}= \frac{1+\frac{n(n+1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1+\frac{n(n-1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}\)
Po wykonaniu obliczeń dostajemy: \[a_n= \frac{n^3+n}{2}\] Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(a_n-a_{n-1}=1306\), a w odpowiedzi należy podać wartość \(a_n\) dla n będącego rozwiązaniem tego równania.
-
- Expert
- Posty: 6268
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: Re:
Tamci też tłumaczą ale jak ich zaczynasz wyzywać to...kostek525 pisze:To ja jestem autorem tamtego tematu, jednakże liczę tu na odpowiedź @radagast bądź @panb lub innych, bo wiem, że oni na 100% tak wytłumaczą, że zrozumiem, czego nie mogę powiedzieć o osobach z tamtego forum.korki_fizyka pisze:http://matematyka.pisz.pl/forum/383180.html
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
- Rozkręcam się
- Posty: 36
- Rejestracja: 16 paź 2018, 16:59
- Podziękowania: 15 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re:
Czyli suma n-tej grupy, to suma wszystkich poprzednich razem wziętych + jeszcze coś, tak?panb pisze:Niech \(a_n\) oznacza sumę n-tej grupy.
Zauważmy, że
\(a_3=4+5+6=1+2+3+4+5+6-(1+2+3)=S_{1+2+3}-S_{1+2}=S_6-S_2\\
a_4=7+8+9+10=1+2+...+10-(1+2+3+4)=S_{1+2+3}-S_{1+2+3}=S_{10}-S_6\)
Zatem \(a_n=S_{1 +2+3+\ldots +n}-S_{1+2+3+\ldots +(n-1)}\), gdzie \(S_m\) oznacza sumę m kolejnych liczb naturalnych od 1 do m i \(S_m= \frac{1+m}{2} \cdot m\)
W takim razie
\(a_n=S_{\frac{n(n+1)}{2}}-S_{\frac{n(n-1)}{2}}= \frac{1+\frac{n(n+1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1+\frac{n(n-1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}\)
Po wykonaniu obliczeń dostajemy: \[a_n= \frac{n^3+n}{2}\] Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(a_n-a_{n-1}=1306\), a w odpowiedzi należy podać wartość \(a_n\) dla n będącego rozwiązaniem tego równania.
A dlaczego \(S_{1+2+3}-S_{1+2+3}=S_{10}-S_6\)?
Skoro odejmujesz od siebie dwie stałe, to czemu to nie jest równe zero?
@korki_fizyka
Nikogo nie wyzywam, tylko się słownie bronię przed nieuzasadnionym brakiem szacunku ze strony dwóch osób. Jak nie masz bladego pojęcia o sprawie to nie pisz takich rzeczy.